Pochodne funkcji uwikłanej, Przykład 1.3
W poprzednim przykładzie pokazaliśmy, że istnieje funkcja uwikłana równaniem
,
określona na pewnym otoczeniu punktu i taka, że (wykres tej funkcji przechodzi przez punkt ). Teraz wyznaczymy pierwszą i drugą pochodną tej funkcji. Przypomnijmy, że jeśli spełnione są założenia twierdzenia przedstawionego na poprzedniej stronie, to funkcja uwikłana jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu i pochodna tej funkcji opisana jest wzorem:.
Ponadto, jeśli funkcja posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu , to funkcja posiada również drugą pochodną i.
Rozwiązanie.Odpowiedź.
(wiersz 9) oraz (wiersz 13).
| Pochodną funkcji zmiennej uwikłanej równaniem możemy wyznaczyć bezpośrednio używając polecenia PochodnaFunkcjiUwikłanej(F,y,x). |
Do czego możemy wykorzystać pochodne funkcji uwikłanej? Przypomnij sobie jakie własności funkcji jednej zmiennej badaliśmy na podstawie pierwszej i drugiej pochodnej?
W kolejnych rozdziałach pokażemy jak wyznaczyć styczną do krzywej w danym punkcie oraz jak znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej. Teraz natomiast spróbujemy zastosować pochodną do zbadania monotoniczności funkcji .
Zauważmy najpierw, że .
Jeśli przyjmiemy, że interesuje nas wykres funkcji w prostokącie (patrz poniższy aplet), to wówczas
oraz .
Stąd wynika, że dla z pewnego otoczenia i pochodna zeruje się tylko w . To oznacza, że funkcja uwikłana jest malejąca na pewnym otoczeniu zawartym w .