Basiswissen Algebra

Zahlen und Variable

Sie benötigen grundlegendes Wissen über Zahlen und das Rechnen mit Zahlen.
  • Zahlen dienen zum zählen und messen. 
  • Zählen meint die Anzahl von in Bezug auf ein bestimmtes Merkmal gleichartigen Objekten: fünf Stühle, drei Sessel, ...
  • Beim Rechnen wird zwei Eingangszahlen ein Ergebnis zugeordnet: Fünf Stühle und drei Stühle zusammen sind acht Stühle.
  • Das Rechnen erfolgt nach bestimmten Rechengesetzen.
  • Beim Messen gibt man an, wie oft eine zuvor festgelegte Einheit benötigt wird, um die zu messende Größe zu erreichen: die Strecke von A nach B ist 8km lang
Wir unterscheiden vier grundlegende Rechenarten:
  • Addition (addieren, zusammenzählen, hinzunehmen)
  • Subtraktion (subtrahieren, abziehen, wegnehmen)
  • Multiplikation (multiplizieren, malnehmen, vervielfachen)
  • Division (dividieren, teilen, aufteilen)
Folgende Fachbegriffe werden verwendet:

  • Für die Addition:  Summand plus Summand gleich Summe
  • Für die Subtraktion: Minuend minis Subtrahend gleich Differenz
  • Für die Multiplikation: Faktor mal Faktor gleich Produkt
  • Für die Division:  Dividend durch Divisor gleich Quotient
Mathematische Aussagen werden gern für mehr als eine Zahl und damit allgemein formuliert. Dazu werden Zahlenmengen zu einem Grundbereich zusammengefasst und Buchstaben als Platzhalter oder Stellvertreter für alle Zahlen aus dem Grundbereich verwendet. Buchstaben für unbestimmte und frei veränderliche Zahlen werden als Variable bezeichnet, während Parameter unbestimmte, aber feste Zahlen eines Grundbereichs bezeichnen. Da Variable und Parameter für Zahlen stehen, muss man mit ihnen genau so wie mit konkreten Zahlen rechnen.

Rechengesetzte

Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze) Beim addieren und multiplizieren können die beiden Eingangszahlen vertauscht werden, ohne das sich das Ergebnis ändert. In mathematischer Fachsprache: Für alle Zahlen a und b gilt: und Assoziativgesetze (Klammergesetze) Beim addieren und multiplizieren von jeweils mehr als zwei Zahlen werden erst zwei Zahlen verrechnet und das Ergebnis wir mit der dritten Zahl verrechnet. Welche zwei Zahlen zuerst benutzt werden hat dabei keinen Einfluss auf das Ergebnis. In mathematischer Fachsprache: Für alle Zahlen a, b und c gilt: und Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Dieses Gesetz regelt das Zusammenwirken von Addition und Multiplikation: Soll eine Zahl mit einer Summe zweier weiterer Zahlen multipliziert werden, so muss die eine Zahl mit beiden anderen Zahlen einzeln multipliziert werden. Diese beiden Zwischenergebnissen müssen anschließend zum Gesamtergebnis zusammen addiert werden. In mathematischer Fachsprache: Für alle Zahlen a, b und c gilt:

Wichtige Sonderfälle

Für das Rechnen mit den besonderen Zahlen Null und Eins gelten einige Sonderregeln. Für alle Zahlen a gilt:
Achtung! Eine Division durch Null ist unter keinen Umständen möglich!