Symmetrie ganzrationaler Funktionen
Achsensymmetrie (AS)
Der Graph einer Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse,
wenn für alle Werte gilt: .
Der Ausdruck heißt für den Graphen übersetzt, dass die y-Werte des Graphens links und rechts der y-Achse beide gleich sind – also z.B. . Wenn dies für alle Werte gilt, so ist die Funktion achsensymmetrisch.
Verschiebe in der Abbildung den Schieberegler. Dir wird jeweils die Stelle und angezeigt. Dabei kannst du beobachten, dass an diesen Stellen die roten Linien immer gleich lang sind; also die y-Werte immer den gleichen Wert besitzen.
Achsensymmetrie tritt immer dann auf, wenn alle Exponenten der Funktion gerade sind.
Punktsymmetrie
Der Graph einer Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung , wenn für alle Werte gilt: (bzw. ).
Der Ausdruck heißt für den Graphen übersetzt, dass die y-Werte des Graphens links und rechts der y-Achse beide gleich sind, jedoch gerade das entgegengesetzte Vorzeichen besitzen – also z.B. . Wenn dies für alle Werte gilt, so ist die Funktion punktsymmetrisch.
Verschiebe in der Abbildung den Schieberegler. Dir wird jeweils die Stelle und angezeigt. Dabei kannst du beobachten, dass an diesen Stellen die roten Linien immer gleich lang sind; also die y-Werte immer den gleichen Wert besitzen, jedoch sich einmal oberhalb und einmal unterhalb der x-Achse befinden.
Punktsymmetrie tritt immer dann auf, wenn alle Exponenten der Funktion ungerade sind.
Eindeutigkeit der Symmetrie
Eine Funktion kann entweder achsensymmetrisch, oder punktsymmetrisch sein, oder keine Symmetrieeigenschaften aufweisen. Sie wird niemals achsensymmetrisch und punktsymmetrisch sein.
Beispiel 1
(Um zu zeigen, dass mindestens immer eine Eigenschaft nicht stimmt, wird hier bewusst
immer zuerst die Symmetrieeigenschaft getestet, die falsch ist.)
Prüfe auf PS:
Wir sehen: . Also ist die Funktion nicht Punktsymmetrisch.
Prüfe auf AS:
Wir sehen: . Also ist die Funktion achsensymmetrisch.