Exponentialfunktionen 6
Bei der Frage nach der Ableitung einer Exponentialfunktion f(x) = C · ax (a > 0) sind wir bisher zu folgender Erkenntnis gekommen:
- Es genügt, die Ableitung einer einzigen Stelle, vorzugsweise an der Stelle 0, zu kennen. Dann gilt an jeder anderen Stelle x: . Der Quotient ist die "Wachstumskonstante" der Funktion.
- Es genügt, die Wachstumskonstante k für eine einzige Basis a zu kennen. Dann ist die Wachstumskonstante für eine beliebige andere Basis a'.
In diesem Applet sehen Sie die Funktion f(x) =ax (blau), ihre Ableitungsfunktion f'(x) = k · ax (rot) und die Tangente an f an der Stelle 0 mit der Steigung k. Bewegen Sie den Schieber, um eine Basis a zu finden, für die näherungsweise k = 1 ist. Beobachten und beschreiben Sie die Auswirkung auf die Graphen. Notieren Sie den gefundenen Wert für a. Tipp: Sie können a mit der Maus grob verändern und dann sehr feinschrittig mit den Pfeiltasten der Tastatur justieren. Bei gedrückter Shift-Taste verringert sich die Schrittweite noch um den Faktor 1/10, bei gedrückter Strg-Taste wird sie verzehnfacht.
Tatsächlich kann man beweisen, dass es genau eine reelle Zahl a gibt, für die ist.
Diese Zahl heißt Eulersche Zahl (benannt nach Leonard Euler, 1707-1783, schweizer Mathematiker) und wird mit dem Buchstaben e bezeichnet. Sie liegt zwischen 2,718281 und 2,718282 und ist eine der wichtigsten Zahlen in der Mathematik.
Geben Sie in die Eingabezeile des obigen Applets "a = e" ein. Wichtig: Halten Sie bei der Eingabe von "e" die Alt-Taste gedrückt.
Auch dieser angezeigte Wert ist ein Näherungswert! Es zeigt sich bei genauerer Untersuchung, dass e eine irrationale Zahl ist.
Die besondere Bedeutung der Zahl e wird in dem Applet anschaulich erfasst. Der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit einer reellen Zahl e mit wird an dieser Stelle nicht ausgeführt.
Wir halten fest:
Die Eulersche Zahl e ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl, für die ist. e ist irrational. Die ersten Stellen von e lauten 2,718281828459...
Man kann zeigen, dass e durch den Grenzwert berechnet werden kann. Ein effektiveres Berechnungsverfahrfen liefert die Reihe
Die Exponentialfunktion f(x) = ex heißt "natürliche Exponentialfunktion". Ihre Umkehrung, der Logarithmus zur Basis e, heißt "natürlicher Logarithmus". Statt loge(x) schreibt man ln(x) ("logarithmus naturalis").
Die natürliche Exponentialfunktion ist mit ihrer Ableitung identisch: Für f(x) = ex ist f'(x) = ex.
Die Wachstumskonstante einer Exponentialfunktion zu einer beliebigen Basis a ist k = loge(a) · 1 = ln(a).
Die Ableitung einer Exponentialfunktion zur Basis a ist f'(x) = ln(a) · f(x).