Seccion 1.1 - Ley de Senos (Ejercicios)
Ejercicio 1
Demuestre que, para cualquier triángulo , aunque B o C sean ángulos obtusos, . Utilice la Ley de Senos para deducir la "formula de adición"
Respuesta:
Aplicando la Ley de cosenos con b, obtenemos:
Al despejar por cosB, obtenemos:
Por último, al multiplicar ambos lados de la ecuación por c, obtenemos:
(I)
Aplicando la ley de cosenos con c, obtenemos:
Al despejar por cosC, obtenemos:
Por último, al multiplicar ambos lados de la ecuación por b, obtenemos:
(II)
Al sumar (I) y (II) obtenemos:
Simplificando obtenemos:
Por lo tanto,
(a)
ahora, utilizando la Ley de Senos:
(b)
(c)
(d)
Reemplazando (b), (c) y (d) en (a), obtenemos:
Sacando 2R como factor común y simplificando, obtenemos:
y como , obtenemos:
Ejercicio 2
En cualquier triángulo ABC,
Respuesta: Sea (I)
Utilizando la Ley de senos y despejando por a, b, y c (similar al Ejercicio 1), obtenemos y . Sustituyendo en (I) obtenemos:
, factorizando por
y notamos que todos los elementos dentro del parentesis se cancelan, resultando en:
Por lo tanto,
Ejercicio 3
En cualquier triángulo ABC, .
Respuesta:
Las fórmulas de áreas para un triángulo ABC utilizando senos son:
, y .
Observemos el siguiente triángulo inscrito en un círculo,
Adicionalmente, añadimos el punto J en el círculo y se trazan CJ y BJ.
Consideremos el .
Utilizando las fórmulas presentadas, entonces:
. (i)
Similar a la prueba de Ley del Seno, el ángulo J y A son congruentes.
Podemos concluir que . Esto también implica que
Por lo tanto, (ii)
Al sustituir (ii) en (i)
.
Al simplificar
Ejercicio 4
Sean p y q radios de dos círculos a través de A, tocando BC en B y C, respectivamente. Entonces .
Respuesta: Observemos la siguiente figura
Notamos que . Similarmente, .
Despejando por p y q, obtenemos
y
Multiplicando p por q:
Por tanto,