Mértani hely egyenlete
Mértani hely a matematikában és a GeoGebrában.
A matematikában mértani helynek nevezzük azt a geometriai alakzatot, amelynek minden pontja rendelkezik egy meghatározott tulajdonsággal, és ezen kívül nincs ilyen tulajdonságú pont.
A GeoGebrában ez részben egyszerűbb, részben összetettebb fogalom. Legyen adott egy valamilyen vonal alakzaton mozgó, félig kötött V pont vagy egy csúszkával megadott a szám, amelynek a helyétől (értékétől) függ egy megszerkesztett P pont. A p=MértaniHely(P,V) vagy ..(P,a) parancs, vagy a 
ikon állítja elő azt vonalalakzatot, amelyen az P pont végigfut.
A mértani hely, mint Geogebra alakzat kiváló lehetőséget nyújt arra, hogy a felhasználó vizuális információhoz jusson a P pont V-től. ill. a-tól függő pályájáról. Meg tudjuk adni a színét, vonalvastagságát , tudjuk vezérelni a láthatóságát, de mint szerkesztésre felhasználható geometriai alakzat lénygében nem jön létre, pl. nem szerkeszthető meg egy másik vonallal alkotott metszéspontja, nem tudunk rá pontot illeszteni. Olyasmi, mint egy kézzel rajzolt függvénygörbe, vagy grafikon, aminek nem tudjuk a képletét.
Ahhoz, hogy a mértani helyet valódi geometriai alakzatként használni tudjuk, szükségünk lesz a MértanihelyEgyenlete() parancsra, amelynek a bemenő adatai ugyanezek az objektumok, vagy a már megrajzolt mértani hely neve. Eredménye egy képlettel leírt függvény, aminek a képe (rajza) megegyezik a mértani hely rajzával. Vagy nem! Ezt a kérdést fogjuk körbejárni.
ikon állítja elő azt vonalalakzatot, amelyen az P pont végigfut.
A mértani hely, mint Geogebra alakzat kiváló lehetőséget nyújt arra, hogy a felhasználó vizuális információhoz jusson a P pont V-től. ill. a-tól függő pályájáról. Meg tudjuk adni a színét, vonalvastagságát , tudjuk vezérelni a láthatóságát, de mint szerkesztésre felhasználható geometriai alakzat lénygében nem jön létre, pl. nem szerkeszthető meg egy másik vonallal alkotott metszéspontja, nem tudunk rá pontot illeszteni. Olyasmi, mint egy kézzel rajzolt függvénygörbe, vagy grafikon, aminek nem tudjuk a képletét.
Ahhoz, hogy a mértani helyet valódi geometriai alakzatként használni tudjuk, szükségünk lesz a MértanihelyEgyenlete() parancsra, amelynek a bemenő adatai ugyanezek az objektumok, vagy a már megrajzolt mértani hely neve. Eredménye egy képlettel leírt függvény, aminek a képe (rajza) megegyezik a mértani hely rajzával. Vagy nem! Ezt a kérdést fogjuk körbejárni.
A feladat:
Legyen adott az fix O pont pl.: O=(-2,0) és egy mozgatható F pont, pl. (alaphelyzetben) F=(2,0), továbbá egy csúszkával megadott 0<r<10 szám!
Legyen:
- c=Kör(O,r)
- V=Pont(c)
- f=Szakasz(O,V)
- g=Szakaszfelező(V,F)
- P=Metszéspont((f,g)
- p=MértaniHely(P,V)
- e=MértanihelyEgyenlete(P,V) ehelyett megfelelő az e=MértanihelyEgyenlete(p) parancs is, de ezt azonnal átírja a rendszer az előbbire.
Miért nincs, ha van? Miért van, ha nincs?
Csak, hogy a dinamikus geometria lehetővé teszi a bemenő adataink -így eredményeink - változtatását.
Éljünk ezzel a lehetőséggel. Vessük alá a fenti - viszonylag egyszerű - appletet egy alapos elemzésnek, a g=MértaniHely(V,P) és az e=MértaihelyEgyenlete(V,P) utasítások közötti kapcsolat felderítésére.
1. OF< r
Az F=(2,0) pontot egyelőre a helyén hagyva változtassuk r értékét! Tapasztalhatjuk, hogy minden esetben egész együtthatós kétváltozós polinom a kapott egyenlet. Ha r nem egész szám, akkor ezek az együtthatók bizony jó nagy számok. Írjuk be a parancs sorba pl. az r=50/7 vagy r=10sin(50°) értéket!
Az e egyenlethez tartozó implicit függvény grafikonja - amint ez várható volt - pontosan megegyezik a p mértani hely képével.
2. r = OF (most r=4)
Ebben a speciális (szinguláris) esetben P=0, így a p mértani hely egy pont. Viszont e maga az (OF) egyenes. Azt, hogy ez hogyan "jött ki", talán a GeoGebra program készítői tudnák megválaszolni.
3. 0<r<OF
A g=Szakaszfelező(V,F) egyenes nem metszi Az f=OV szakaszt, így a g mértani hely nem jöhet létre, viszont e egy hiperbola egyenlete, az így kapott imlicit függvény grafikonját is látjuk. Vajon miért van, ha egyszer nincs?
Azért mert a MértanihelyEgyenlete() utasítás, amelynek a bemenő adatai lényegében szabad bázispontokkal meghatározott körök és egyenesek egyenleteiből álló (racionális együtthatójú) egyenletrendszerek. Ezek megoldásaként kapja azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyekből megadja - ha tudja - azt a kétváltozós, egész együtthatókkal leírható implicit függvényt, amely a vizsgált mértani hely megfelelője. Amíg a MértaniHely() utasítás vizsgálja, hogy a vonalat leíró pont definiált-e, látható-e, addig az egyenletrendszer megadásakor nem támaszthatunk ilyen feltételeket.
4. f= Egyenes(O,V)
Ezt az utasítást beírva a parancssorba, f szakasz helyett egyenest jelöl, így két egyenes metszéspontjaként minden esetben értelmezett a P pont, így a p mértani hely is., amely pontosan fedi az e implicit függvény képét. Kihasználva, hogy az F pont mozgatható, változtassuk meg a helyét. A megfigyeltek kiértékelését olvasóinkra bízzuk.
5. P=Ha(Távolság(O,F)<r,Metszéspont(f,g),?)
A P pont így a p mértani hely is csak akkor definiált, ha teljesül az OF< r feltétel. Bár e definiált, de az egyenlete helyett a 0= 0 üzenetet kapjuk. a grafikonja sem jelenik meg. Vajon miért nincs, ha egyszer van?
Azért, mert a MértanihelyEgyenlete() utasításban szereplő pontok létezése nem függhet logikai változótól. Állítsuk most vissza az előző állapotot a parancssorba írt P=Metszéspont(f,g) utasítással.
6. F=Tükrözés(O,(0,0))
Ezzel az utasítással elérhető, hogy az F pont ismét a (2,0) pont legyen. A különbség az, hogy most már F is fix pont. e egyenlete és a képe ismét látható. De F megkaphatta volna a (2,0) értéket így: F=-O, vagy így is: F=Nyújtás((0,0),2,O ). Ha így adjuk meg az F pontot, e képlete helyett újfent az 0= 0 jelenik meg. Ennek most az az oka hogy a MértanihelyEgyenlete() utasítás bemenő adatai nem állíthatók elő olyan geometriai transzformációval, amelyben (esetleg változtatható) paraméter is szerepel. Ilyen például centrális nyújtás eltolás egy vektorral, az affinitás. Ez mindkét változóra érvényes. Pl. a P=2Metszéspont(f,g) utasítással is kizártuk volna az e egyenlet előállítását.
Összegezve: felderítettünk néhány feltételt, amelyek kizárják, hogy a MértanihelyEgyenlete() utasítás működjön, de messze nem állíthatjuk, hogy ezt a teljesség igényével tettük.
Egy lépcsőfokkal feljebb.
Akkor válik igazán érdekessé ez a problémakör, ha nem "közismert" mértani helyeket és ezek egyenleteit keressük.
Feladat:
Legyen adott a k=Kör((0,0),10) fix kör, egy A∈k pont és P a sík egy további pontja!
Szerkesszünk meg azt az ABCD négyzetet, amelynek még egy további csúcsa illeszkedik k-ra,
továbbá:
- az AC átló egyenese illeszkedik P-re;
- az AB oldal egyenese illeszkedik P-re?
C∈k
B∈k
Hát...tér
Bár egy program felhasználójának nem kell feltétlenül tudnia, hogy mi folyik a számítógépe (programja) fejében, miközben az ő problémájával foglalkozik, nem árt ezeket a folyamatokat legalább főbb vonalakban kicsit tisztábban látnunk.
Ezért most itt idézzük Kovács Zoltánnak a GeoGebra Team egyik fejlesztőjének az ezzel kapcsolatos kiegészítését:
"Ha a MértaniHelyEgyenlete parancsban szakaszok összege jelenik meg, a GeoGebra egyúttal azok különbségét is figyelembe veszi. Tehát egyszerre plusz és mínusz is ott van a számításban, még ha nem is kérjük.
Így tehát pl. amikor az ellipszis kertész-módszeres ("köteles", "zsinóros") egyenletét adjuk meg, akkor egyúttal a hiperboláét is megadjuk, és ezt nem tudjuk befolyásolni, ott lesz és kész.
Ennek a következő az oka. A GeoGebrának ez a része nem szakaszokkal, hanem azok négyzetével dolgozik, mert a szakaszok hosszánál gyökös kifejezések jönnének be, és a háttérben futó egyenletrendszer kezelő algoritmus csak algebrai egyenleteket fogad el (polinomegyenleteket, amelyek együtthatói racionálisak). Így nem tudjuk a hosszúságokat előjelesen kezelni, vagyis ha egy H hosszúság megjelenik, akkor egyszersmind annak ellentettje, -H is megjelenik, mert a négyzetre emelés során mindkettőből H^2 lesz, és az egyenletrendszerbe csak a H^2 kerül be.
Nincs mód rá, hogy ezt kikerüljük, és szerintem még jó ideig (5-10 évig) nem is lesz. Egy teljesen más elmélet és teljesen más (bonyolultabb) algoritmusok kellenek ahhoz, hogy ezek előjelesen működjenek."