cosx=2なんてあるのか？
１．三角関数にも複素数を
このワークシートはMath by Codeの一部です。
前回は、この２式を加えることで、
オイラー公式eix=cos x + i sin x
を導き、
オイラー等式eiπ=-1にたどりつけた。
オイラー公式は、微分やマクローリン展開でも導くことができたね。
いずれにしても、最初の2式をオイラー公式と等価のものとして使える。
このｘは実数だったが、複素数としてx=zを代入してみよう。
それまでの三角関数の定義域は実数全体で、値域は絶対値１以下の実数でした。
それが、この定義にすると、指数関数の定義域をixからizに拡大する必要がある。
ｚが複素数にわたると、izも複素数に渡るからです。
そこで、複素数ｚ＝x+y iに対して
ez=ex+yi=exeyi=R(cos(y) + i sin(y)) (R=ex>0)
zが複素平面上をx=x1の直線上を動くと、ｗ＝ezは複素平面上で半径R＝exで偏角ｙの円周上を動きます。
zがｙ軸に平行な直線のむれを渡ると、ｗは原点を中心とする円のむれを渡ります。
これは、複素数を複素数に対応させる関数です。
これが複素関数w=ezの特徴と言えるね。
では、cos(z)はどうでしょうか？
複素数ｚ＝ｘ+yi に対して加法定理を使うと、
cos(z)=cos(x+yi)=cos(x)cos(yi)-sin(x)sin(yi)
=cos x(ei・yi+e-i・yi)/2 -sin y (ei・yi- e-i・yi)/2i
=cos x(e-y+ey)/2 -sin y (e-y- ey)i/2i・i
=cos x(e-y+ey)/2 + i sin x (e-y- ey)/2
= G cos x + i L sin x ( 一定のyに対して、G= (e-y+ey)/2 , L = (e-y-ey)/2 とおいた）
だから、ｙを一定にしてｘを変動させると、cos(z)は、実軸方向にG倍、虚軸方向にL倍に拡大した
楕円を描く関数になっているね。
ｚがy=y1の直線上を動くと、ｗ＝cos(z)は原点をかこむ楕円周上を動きます。
ｚがｘ軸に平行な直線のむれを渡ると、ｗは原点をかこむ楕円のむれを渡ります。
これが複素関数ｗ＝cos(z)の特徴と言えるね。
質問：ezとcos(z)の特徴をgeogebraで視覚化するために、どうしたらよいでしょうか。
（ezの場合）
グラフィックビューを２つ用意します。
たとえば、定義域の平面ｚ＝ｘ＋ｙiを左に、右の平面を値域ｆ（ｚ）にします。
ｘとｙの変化のｆ（ｚ）への影響を見るために、
ｙはアニメーションにして自動変化させると、これがｆ（ｚ）の偏角の変化を起こします。
アニメーションは動きを制御するためにスタートとストップボタンを貼り付けましょう。
スタートボタンの設定を開いて、スクリプト記述タブで、クリック時の中に
q=0
StartAnimation(q)
と入力します。
ストップボタンの設定はクリック時に
StartAnimation(false)
と書けばよいね。
ｑはｚ＝ｘ＋ｙi のｙのことです。
ｘは手動で変化させましょう。ｘを大きくすると、
ｆ（ｚ）の描く半径が大きくなりますね。
（cos(z)の場合）
z=x+yi のｙを手動にして、ｘを自動にするところが違います。
また、微妙ですが、ｆ（ｚ）は円に近いですが、よく見ると楕円になります。
＜cosx=2？＞
動かしてみるとわかるのですが、
cos(z)は、z=x+yi として、y=nで、x=2kπ、のときに、cos(ni)+ 0 iを通ります。
cos(z)=cos(x+yi) =cos x(e-y+ey)/2 + i sin x (e-y- ey)/2だから、
cos(2kπ+ni)=cos(2kπ)(e-n+en)/2 + i sin(2kπ) (e-y- ey)/2=(e-n+en)/2=2とすると、
en=p>0とおくと、p+1/p=4。p^2-4p+1=0 , p=2±√3
n=ln(2+√3)
Z=2kπ+ i ln(2+√3)のとき、cosZ=2になるね。
数の範囲を複素数にすると、cosの値が２になることもありうるということだね。
質問：cos(2π+ i ln(2+√3))= 2をgeogebraで確かめるにはどうしますか。
x,yが予約語なので、x,yを使わずに数値を設定しょう。
a=2pi , b=log(e, 2+sqrt(3))としてから、a + b iと入力して複素数を定める。
それがz_1となるので、cos(z_1)と入力したら、それが、２＋０iになればOKだね。
複素関数e^z
複素関数cos(z)
cos(z)=2となるｚ
２．複素数の対数関数とは？
さっきは、複素数ｚ＝x+y iに対して
w=ez=ex+yi=exeyi=R(cos(y) + i sin(y)) (R=ex>0, y=arg w)
zが複素平面上をx=x1の直線上を動くと、ｗ＝ezは複素平面上で半径R＝exで偏角ｙの円周上を動きます。
zがｙ軸に平行な直線のむれを渡ると、ｗは原点を中心とする円のむれを渡ります。
・実部xによって複素数のサイズ、半径|z|=exが決まりx→|z|=ex。
だから、逆はz→log|z| =x (実部）はサイズのlog。
・虚部yによって円の偏角arg ｗが決まった。しかし、2πごとに同じ偏角になってしまう。
つまり、y1、y1＋2π、y1+ 4π、............ → cos(y1) + i sin(y1) y1=arg wが同じ値にかぶる。
この逆は、cos(y1) + i sin(y1) → y1、y1＋2π、y1+ 4π、............ 多値関数になってしまいます。
狭い意味での関数（全単射）にするためには、値域の大きさを2π未満にしましょう。
だから、逆は、z =cos(y) + i sin(y) → y（ｚの偏角 、arg zは2π未満）のもとは虚部。
まとめると、
複素数z=x+yi に対して、
ｗ＝log(z)=u+vi= log|z| + i・ arg(z) （arg zは2π未満）
になるね。