CFMod2_M1 L I Didakt. Hinweise: lokale Änderungsrate
Einstieg in Kontext Gepard
Die vorherige kurze Filmsequenz und/oder der Ausschnitt aus Nature-Artikel führte auf die Kernfrage
"Wie bestimmt man mit den Videoaufnahmen die Geschwindigkeit des Gepards?"
Das erste GeoGebra-Applet Gepard dient als Ersatz für die Videoaufnahmen des Forschungsteams.
Das erste GeoGebra-Applet Gepard dient als Ersatz für die Videoaufnahmen des Forschungsteams.GeoGebra-Applet Gepard
Link für SuS: GeoGebra-Applet Gepard
https://www.geogebra.org/m/eauy6nqj
https://www.geogebra.org/m/eauy6nqjAbleitung als lokale Änderungsrate erarbeiten
Methode
Je nach Grad der Offenheit und Problemorientierung im Unterricht können die Lernenden entweder ganz frei in Kleingruppen mithilfe der Applets
Gepard und Gepard_Auswertung
Lösungsansätze zur Bestimmung der Geschwindigkeit des Geparden zu einem ZeitPUNKT selbst erarbeiten, oder Sie als Lehrkraft strukturieren in wechselnden Arbeits- und Plenumsphasen den Lernweg.
Lernschritte (Details in den jeweiligen Abschnitten)
a) Häufige Irrwege widerlegen
Erkenntnis, dass einfach Weg/Zeit NICHT zu einer Lösung führt, da die Geschwindigkeit sich fortwährend ändert (hier: erhöht). Es gibt also nicht nur eine Geschwindigkeit des Gepards.
b) Begriffe schärfen
Unterscheidung von Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit. Letztere kann man gut mit der Anzeige eines Tachos bei einem Fahrzeug vergleichen.
c) Absolute Änderungen des bisher zurückgelegten Weges in einem Zeitintervall im GeoGebra-Applet Gepard ermitteln.
d) Mittlere Geschwindigkeiten (Durchschnittsgeschwindigkeiten) als relative Änderungen berechnen.
Relativ heißt dabei: Die Änderung des bisher zurückgelegten Weges in Relation zur Änderung der bisher benötigten Zeit zu setzen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit muss sich also immer auf einen ZeitBEREICH beziehen, der durch zwei Zeitpunkte gegeben ist.
e) Annäherung an momentane Geschwindigkeit zu einem ZeitPUNKT
- zunächst per Hand und dann ...
- mit dem GeoGebra-Applet Gepard_Auswertung
- Vergleich der Annäherungen und Verbalisierung des Grenzwertprozesses
f) Verbale Definition für die numerische Ableitung an einer Stelle im Kontext Gepard
Die Bedienung des folgenden Applets wird in einem späteren Unterabschnitt erläutert.
Gepard und Gepard_Auswertung
Lösungsansätze zur Bestimmung der Geschwindigkeit des Geparden zu einem ZeitPUNKT selbst erarbeiten, oder Sie als Lehrkraft strukturieren in wechselnden Arbeits- und Plenumsphasen den Lernweg.
Lernschritte (Details in den jeweiligen Abschnitten)
a) Häufige Irrwege widerlegen
Erkenntnis, dass einfach Weg/Zeit NICHT zu einer Lösung führt, da die Geschwindigkeit sich fortwährend ändert (hier: erhöht). Es gibt also nicht nur eine Geschwindigkeit des Gepards.
b) Begriffe schärfen
Unterscheidung von Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit. Letztere kann man gut mit der Anzeige eines Tachos bei einem Fahrzeug vergleichen.
c) Absolute Änderungen des bisher zurückgelegten Weges in einem Zeitintervall im GeoGebra-Applet Gepard ermitteln.
d) Mittlere Geschwindigkeiten (Durchschnittsgeschwindigkeiten) als relative Änderungen berechnen.
Relativ heißt dabei: Die Änderung des bisher zurückgelegten Weges in Relation zur Änderung der bisher benötigten Zeit zu setzen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit muss sich also immer auf einen ZeitBEREICH beziehen, der durch zwei Zeitpunkte gegeben ist.
e) Annäherung an momentane Geschwindigkeit zu einem ZeitPUNKT
- zunächst per Hand und dann ...
- mit dem GeoGebra-Applet Gepard_Auswertung
- Vergleich der Annäherungen und Verbalisierung des Grenzwertprozesses
f) Verbale Definition für die numerische Ableitung an einer Stelle im Kontext Gepard
Die Bedienung des folgenden Applets wird in einem späteren Unterabschnitt erläutert. Applet Gepard_Auswertung
Link für SuS: GeoGebra-Applet Gepard_Auswertung
https://www.geogebra.org/m/yfxh3pts
https://www.geogebra.org/m/yfxh3ptsBegriffe über Kontext hinaus abstrahieren
Um die neu erworbenen Begriffe absolute/relative Änderung, mittlere/momentane Geschwindigkeit als mathematische Begrifflichkeiten nutzen zu können, müssen sie über den Kontext hinaus zu abstrahiert und gefestigt werden. Insbesondere muss der Weg als Bestand und die Geschwindigkeit als lokale Änderungsrate gedeutet werden. Ferner ist die unabhängige Variable nicht immer die Zeit, sondern z. B. auch Strecke oder Preis.
Dazu sollten die Begriffe in einer Übersicht dargestellt und verallgemeinert werden und anschließend von den Schülerinnen und Schülern in weiteren Übungen zur lokalen Änderungsrate angewendet werden:
g) Verallgemeinerung und Übersicht der Begriffe
h) Übungen
Optional kann der funktionale Zusammenhang Weg(Zeit) im Kontext Gepard anschließend modelliert werden und darauf aufbauend die Grenzwertbildung durch den Übergang vom Differenzenquotient zum Differentialquotienten algebraisch zu erarbeiten.
i) optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren
j) optional: Grenzwertbildung algebraisch
Optional kann der funktionale Zusammenhang Weg(Zeit) im Kontext Gepard anschließend modelliert werden und darauf aufbauend die Grenzwertbildung durch den Übergang vom Differenzenquotient zum Differentialquotienten algebraisch zu erarbeiten.
i) optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren
j) optional: Grenzwertbildung algebraisch Quellen:
Die obigen Applets wurden erstellt von Susanne Digel.