Dualität bei Archimedischen Körpern
Duale Körper
Wie schon im Book Sternkörper erwähnt, existieren bei den Platonischen Körpern sogenannte Dualkörper, die wiederum Platonische Körper sind. Es ist naheliegend zu untersuchen, ob auch die Archimedischen Körper duale Körper haben, und ob es auch wieder Archimedische Körper sind.
Dabei sollen die Körper Dualkörper sein, deren Ecken auf den Mittelpunkten des umfassenden Körpers liegen.
Während die Frage der Existenz vielleicht noch leicht einsehbar scheint, ist die Formstruktur nicht sofort ersichtlich. Das nachfolgende Applet zeigt zunächst, wie aus einem Tetraeder ein sogenanntes Tetrakistetraeder entsteht.
Das Tetrakistetraeder besteht zwar aus 12 gleichschenkligen kongruenten Flächen, aber einmal stoßen an einer Ecke 6 Kanten zusammen, und einmal 3. Die Eckpunkte des Tetrakistetraeder liegen alle auf den Mittelpunkten der Sechseck- und Dreieckflächen. Damit ist die Bedingung der Dualität erfüllt. Streckt man das Tetrakistetraeder mitk = 1,8, laufen die Eckpunkte auf den Kanten des Ausgangstetraeders, und auf den Flächen des Tetraeders entstehen dreieckige Pyramiden.
Wichtig: Das Tetrakistetraeder der Dualkörper des Tetraederstumpfes, NICHT des Tetraeders.
Der Dualkörper des Tetraeders ist wieder ein Tetraeder.
Das nachfolgende Applet zeigt diesen Sachverhalt. Das Tetrakistetraeder ist kein Archimedischer Körper, sondern gehört zu den Catalanischen Körpern, die nicht weiter behandelt werden.