Die Projektionseigenschaft ders Skalarprodukts
Das Skalarprodukt bisher
Im ersten GeoGebra Buch haben wir das Skalarprokukt als Abbildung zweier Vektoren betrachtet, die so konstruiert war, daß das Produkt zweier orthogonaler Vektoren (im Anschauungsraum zweier Vektoren die zueinandere senkrecht stehen) Null ergibt. (Mehr im ersten Buch unter Skalarprodukt
Skalarprodukt von der Anwendung her betrachtet
In der Technik - insbesondere in konstruktiven Ingenieurwissnschaften
wie Mascheinenbau und Bauingenieruwesen sind solche Fragen von zentraler
Bedeutung: Wie wird beispielsweise die Kraft, die auf einen Gittermast
wirk nach unten über die Stäbe seines Fachwerks abgeführt?
Vielleicht haben Sie im Physikunterricht der ingangsklasse zum Thema Kräfte das klassische Bolerwagenproblem betrachtet: Man zieht den Bollerwagen an der Deichsel - wie groß ist die Kraft in Wegrichtung?
Diese Frage ist insbeondere bei der Berechnung der Arbeit W von Interesse. Bekanntlch ist die Arbeit gleich der Kraft in Wegwichtung mal dem zurückgelegten Weg. Es wird also die Kraftkomponente in Wegrichtung mit dem Weg multipliziert. Bisher wurde die Komponente über den cos des eingeschlossenen Winkels berechnet:
Nun betrachten wir dies aus dem Gesichtspunkt der Vektorgeometrie:
Vielleicht haben Sie im Physikunterricht der ingangsklasse zum Thema Kräfte das klassische Bolerwagenproblem betrachtet: Man zieht den Bollerwagen an der Deichsel - wie groß ist die Kraft in Wegrichtung?
Diese Frage ist insbeondere bei der Berechnung der Arbeit W von Interesse. Bekanntlch ist die Arbeit gleich der Kraft in Wegwichtung mal dem zurückgelegten Weg. Es wird also die Kraftkomponente in Wegrichtung mit dem Weg multipliziert. Bisher wurde die Komponente über den cos des eingeschlossenen Winkels berechnet:
Nun betrachten wir dies aus dem Gesichtspunkt der Vektorgeometrie:Projektion von Vektoren in eine Richtung
Im Applet unten können Sie den Vektor mit Hile des Punktes bewegen. a) geben Sie jeweils die Komponente des Vektors in Richtung der Koordinatenachsen x und y an. b) Was geschieht, wenn Sie den Ortsvektor mit dem Einheitsvektor in y bzw. x Richtung multiplizieren?
Blenden Sie nun den Einheitsvektor in x-Richtung ein. Die Projektion von auf entspricht der Komponente von in x-Richtung. Wenn Sie dann die Projektionslinie parallel zur y-Achse einblenden, wird dies noch deutlicher.
Man kan durch recht einfache Rechnung zeigen, daß die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem anderen Vektor der Projektion dieses Vektors auf den anderen entspricht. Hat einer der beiden Vektoren den Betrag 1 erhält man ohne Streckung exakt die Komponente des Vektors in Richtung des andern. Dies gilt immer, nicht nur entlang der Koordinatenachsen.
Mulipliziert man dann mit dem Einheitsvektor erhält man
Projektionseigenschaft des Skalarprodukts in 3d
Dies gilt in der göeichen Weise im 3d Anschauungsraum. Das Klaraprodukt eines Vektors mit einem anderen entspricht einer Projektion auf diesen Vektor und Streckung um dessen Betrag.
Handelt es sich um einen Vektor der Länge 1, dann bekommt man also genau den Betrag der Konponente des anderen in diese Richtung. Geometrisch kann man die mögliche Lage der Spitzen der Einheitsvektoren um den Ursprung dann als Kugel deuten.
Das Applet unten verdeutlicht dies.