Como Achar a Eq. cartesiana de um Plano no espaço
Introdução
Sabe-se que um plano pode ser escrito na forma ax+by+cz+d=0. Sendo o "a", "b", "c" e "d" valores conhecidos(fixos) e "x", "y" e "z" as variáveis.
Para achar os valores "a", "b", "c" e "d" é simples, basta saber o vetor normal ao plano. Sabendo esse vetor normal, eu tenho que:
a coordenada "x" dele, é igual ao "a"
a coordenada "y" dele, é igual ao "b"
a coordenada "z" dele, é igual ao "c"
e o d eu descubro sabendo um ponto que pertence ao plano.
Exemplo
Sabe-se que o vetor normal ao plano é : (2,-1,1) e que o ponto P=(2,0,1) pertence ao plano , como fazer para determinar a equação cartesiana do plano?
(um ponto pertencer ao plano, significa dizer que ele está contido dentro do plano.
1ºpasso
Se nos basearmos pelas informações anteriores, temos que:
a=2
b=-1
c=1
Assim, sabemos que a equação do plano é 2x-y+z+d=0.
Porém, ainda falta determinar o valor de d.
Achando d:
Como temos que 2x-y+z+d=0 é equação do plano e que o ponto P=(2,0,1) satisfaz essa equação pelo fato de estar contida no plano, basta substituir.
Assim: 2*2-0+1+d=0
d=-5
Logo, a eq. do plano será 2x-y+z-5=0
Aqui uma representação do plano , o ponto P e o vetor normal: