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Die Exponentialfunktion und ihre Ableitungsfunktion

Durch die Wahl der Basis a kannst du das (rote) Schaubild der Ableitungsfunktion über das (grüne) Schaubild der Exponentialfunktion legen.

Hinweise:

Mache dir die folgenden Besonderheiten mit Hilfe der Animation klar:
  • Die e-Funktion  und die natürliche Logarithmusfunktion heben sich gegenseitig auf. (Damit gilt: und  bzw. allgemein für positive x: ). Hierdurch können wir jede beliebige positive Basis mit Hilfe der e-Funktion und dem natürlichen Logarithmus darstellen.
  • Beim Ableiten von Exponentialfunktionen verwenden wir die Darstellung mit der eulerschen Zahl und benutzen hierbei die Kettenregel. Daher kommt der ln als Zahlfaktor nach vorne.
  • Das Argument des natürlichen Logarithmus heist hier Wachstumsfaktor (=a) und die Zahl ln(a) Wachstumskonstante. Genau dann, wenn die Wachstumskonstante negativ ist, liegt der Wert des Wachstumsfaktors zwischen 0 und 1. Dann handelt es sich bei f um eine exponentielle Abnahme. Das (rote) Schaubild von f' liegt dann überall unterhalb der x-Achse.
  • Zum Schluss etwas Interessantes für Spezialisten: Für betragsmäßig kleine x ist die (blaue) Tangente an der Stelle x=0 eine gute Näherung für die Exponentialfunktion. (Bei der Funktion  ist beispielsweise für  die Gerade eine gute Näherung).