2.- Obtención de las ecuaciones del plano
1.- Un punto y un vector normal
Sea el plano de donde conocemos un punto incluido en el plano, y con un vector de posición, y un vector normal . Por ser el vector normal perpendicular al plano , cualquier segmento dirigido que tenga su punto de origen en y su extremo en cualquier punto ,con vector de posición que pertenezca a , también será ortogonal a :
A esa expresión se le conoce como ecuación normal del plano.
Al desarrollar este producto escalar llegaremos a la ecuación cartesiana del plano:
Si hacemos que tenemos la siguiente ecuación:
Pregunta 1
Sea el punto un punto incluido en el plano , y sea un vector normal al plano. Identifique una ecuación normal del plano:
Ecuación de un plano dado un punto y un vector normal.
2.- Un punto y una recta perpendicular
Sea un punto un punto conocido del plano con vector de posición y sea la recta de ecuación vectorial que es perpendicular al plano y con vector de dirección . Dado que la recta es perpendicular al plano, su vector de direccion sera tambien un vector normal al plano, por lo tanto se procede a obtener la ecuación normal del plano con el punto y el vector :
Pregunta 2
Sea la recta con ecuación vectorial y un punto incluido en el plano . Encontrar una ecuación cartesiana del plano, sabiendo que la recta es perpendicular a este:
Ecuación del plano dado un punto y una recta perpendicular
3.- Dados tres puntos.
Para establecer una ecuacion vectorial del plano es necesario contar, como datos, con las coordenadas de un punto que pertenezca al plano y que sirva como apoyo, y con las componentes de dos vectores y paralelos al plano pero no paralelos entre sí, es decir, dos vectores directores.
Si conocemos tres puntos del plano y podemos obtener estos vectores directores con los segmentos dirigidos y :
De esta manera puede deducirse que para que cualquier punto del plano sea alcanzado por un vector de posicion, al vector de posicion del punto de apoyo puede sumársele un vector que lleve la direccion de pero de tal magnitud que sumándole otro vector, pero ahora con la direccion de y con un módulo adecuado, toque al punto . De tal manera llegamos a la ecuación vectorial del plano:Pregunta 3
Obtener una ecuación vectorial del plano que contiene a los puntos