Definizioni
Vale la pena fare un piccolo parallelo tra numeri complessi e vettori nel piano. Tutte e due queste quantità sono associate ad una coppia di numeri reali. Per i vettori, sono definite tre operazioni di base: la somma, definita con la regola del parallelogramma, e due tipi di prodotto: il prodotto scalare, definito come prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell'angolo compreso, e il prodotto vettoriale, definito come il prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso.
Per i numeri complessi, somma e prodotto sono definiti in modo che nella formula
,
e .
Somma e prodotto tra numeri complessi, sono dunque operazioni connaturate nel problema, ed esiste un solo modo naturale per definirli:
La somma tra e è definita come
,
e il loro prodotto come
.
Nell'ultima uguaglianza, nota che abbiamo usato .
Vale la pena sottolineare che non c'è analogia tra il prodotto tra vettori e quello tra numeri complessi:i prodotti tra vettori del piano sono numeri reali; il prodotto tra numeri complessi è ancora un numero complesso. Corrisponde quindi ad una coppia di numeri e non ad un numero solo. Invece vedremo tra poco che la somma è proprio quella cui siamo abituati per i vettori.