integrales de linea
Sea 
una curva suave a trozos parametrizada por una función 
, si 
es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar 
sobre 
(también llamada integral de trayectoria), está definida como 
La función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde 
y )
son los puntos iniciales y finales respectivamente. En particular, cuando =1
, entonces obtenemos la longitud de la curva , esto son Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de , esto es, si es una curva simple orientada y 
denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
Geométricamente, cuando el campo escalar está definida sobre el plano 
, su gráfica es una superficie 
en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de y la gráfica de .Deducción Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann 
.Comencemos subdividiendo el intervalo 
por medio de la partición 
lo anterior conduce a una descomposición de 
en trayectorias 
definidas en el intervalo
para 
, si denotamos la longitud de arco de por 
entonces 
Cuando →∞
, es decir, 
es grande, la longitud de arco es pequeña y es aproximadamente constante para puntos en . Consideremos las sumas donde )
está definida para 
.Por el teorema del valor medio, 
donde 
y 
. A partir de la teoría de sumas de Riemann puede demostrarse que Ejemplo 1Se desea evaluar la integral de línea sobre la hélice 
, )
.En primer lugar notemos que 
por lo que 
Y como 
Entonces
Integral de línea de un campo vectorial Definición Sean 
un campo vectorial continuo en una región 
y 
una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial 
sobre en la dirección de , está definida como .
donde ⋅
es el producto escalar y la función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde 
y 
son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces 
Relación con las integrales de línea de campos escalares Para trayectorias que satisfagan 
si denota un vector tangente unitario a entonces∫
donde 
, por lo tanto Forma diferencial Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que es un campo vectorial en 2
de la forma=()
y es una curva parametrizada por 
entonces 
Decimos que la expresión 
es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en 3
.
una curva suave a trozos parametrizada por una función , si es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar sobre (también llamada integral de trayectoria), está definida como La función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y ) son los puntos iniciales y finales respectivamente. En particular, cuando =1, entonces obtenemos la longitud de la curva , esto son Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de , esto es, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
Geométricamente, cuando el campo escalar está definida sobre el plano , su gráfica es una superficie en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de y la gráfica de .Deducción Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann .Comencemos subdividiendo el intervalo por medio de la partición lo anterior conduce a una descomposición de en trayectorias definidas en el intervalo para , si denotamos la longitud de arco de por entonces Cuando →∞, es decir, es grande, la longitud de arco es pequeña y es aproximadamente constante para puntos en . Consideremos las sumas donde ) está definida para .Por el teorema del valor medio, donde y . A partir de la teoría de sumas de Riemann puede demostrarse que Ejemplo 1Se desea evaluar la integral de línea sobre la hélice , ).En primer lugar notemos que por lo que Y como Entonces
Integral de línea de un campo vectorial Definición Sean un campo vectorial continuo en una región y una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial sobre en la dirección de , está definida como .donde ⋅ es el producto escalar y la función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces Relación con las integrales de línea de campos escalares Para trayectorias que satisfagan si denota un vector tangente unitario a entonces∫donde , por lo tanto Forma diferencial Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que es un campo vectorial en 2 de la forma=() y es una curva parametrizada por entonces Decimos que la expresión es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en 3.