Homogénéité d’une expression

Présentation

Tester l’homogénéité d’une expression est un critère permettant d’éliminer des résultats dont on sait qu’ils sont nécessairement faux.

Une équation est homogène lorsque ses deux membres ont la même dimension.

Le critère de pertinence s’énonce ainsi :
Une expression non homogène est nécessairement fausse.
On peut énoncer les conséquences suivantes : • On ne peut additionner que des termes ayant la même dimension. • L’argumentation d’une fonction transcendante (sin, cos, tan, exp, ln…) doit être sans dimension • La dimension du produit de deux grandeurs est le produit des dimensions de chacune des grandeurs L’analyse de l’homogénéité constitue un puissant outil pour détecter une erreur puisqu’une équation non homogène est nécessairement fausse. À la fin de tout calcul littéral, il faut vérifier l’homogénéité de l’expression obtenue. On ne peut additionner entre elles que des grandeurs ayant la même dimension.

Mise en pratique 1 : Comment vérifier l’homogénéité d’un expression ?

On est tenté d’écrire l’équation aux dimensions de chaque grandeur en utilisant les sept grandeurs de base. Un étudiant donne l’expression de la constante de temps d’un circuit (R, L) : (1)

Il « suffit » de déterminer l’équations aux dimensions d’une résistance et d’une inductance… Ce n’est pas la bonne méthode. On évitera d’autant les calculs lourds qu’on aura une bonne culture générale en physique.

On détermine l’homogénéité d’une formule en utilisant des relations « classiques » entre les grandeurs mises en jeu.

Dans notre exemple, on connaît bien sûr la loi d’Ohm

, soit dimensionnellement: (2)

On connaît aussi la relation entre la tension aux bornes d’une bobine idéale et l’intensité du courant qui la traverse

, soit dimensionnellement : (3)

D'après (2) et (3), on a : (4)

(5)

Donc la relation (1) donnée par l’étudiant est nécessairement FAUSSE !!! On n’a utilisé que des relations classiques, supposées bien sûr connues sans erreur.

Mise en pratique 2 : La relativité restreinte

Comme chacun sait, Einstein à trouvé que

est une énergie,

une masse et

une vitesse (la vitesse de la lumière dans le vide = 3.108 m/s). Voyons si cette équation est homogène (ce qui ne prouve pas sa justesse) mais est indispensable.

ce qui est bien la grandeur de l’ENERGIE que nous venions de calculer. Donc l’équation E=mc2 est homogène. Si elle ne l’était pas, elle serait à coup sûr fausse. Mais attention l’homogénéité ne prouve pas qu’elle soit juste.