M1 L III Didakt. Hinweise: Ableitungsfunktion
Der Begriff Ableitung einer Funktion an der Stelle wurde mit den Grundvorstellungen lokale Änderungsrate und Tangentensteigung erarbeitet.
Außerdem wurde eine algebraische Definition der Ableitung an der Stelle
- optional aufbauend auf die Grundvorstellung lokale Änderungsrate (s. Abschnitt optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren)
- und aufbauend auf die Grundvorstellung Tangentensteigung (s. Abschnitt 3. Schritt: Tangentensteigung als Grenzwert) erarbeitet.
Der nächste Schritt ist der Übergang zur Ableitung als Funktion.
1. Ableitung in mehreren Punkten
Dazu wird im Kontext Gepard der funktionale Zusammenhang der Geschwindigkeit abhängig von der Zeit untersucht.
Leitfrage: Wie verläuft die Geschwindigkeit des Geparden über die Zeit?
Mehrere momentane Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten werden bestimmt und in einer Tabelle festgehalten.
Sie können wahlweise numerisch mit dem Applet Gepard_Auswertung (siehe Abschnitt d)-f) Annäherung an die momentane Geschwindigkeit) oder grafisch mit dem Applet Sekantensteigung_Gepard (siehe Abschnitt 2. Schritt: Tangente las Grenzlage) bestimmt werden.
Mit diesen Messpunkten kann in GeoGebra eine Funktion modelliert werden (analog zum Abschnitt optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren).
Erkenntnis: Auch die Ableitung (nach der Zeit) bildet eine Funktion (in Abhängigkeit von der Zeit).
Die Reflexion des Vorgehens führt zu der Frage, wie diese Ableitungsfunktion ggf. einfacher aus der Bestandsfunktion gewonnen werden kann.
In den nächsten Schritten werden dazu über das graphische Ableiten erste Ableitungsregeln erarbeitet.
Sie können wahlweise numerisch mit dem Applet Gepard_Auswertung (siehe Abschnitt d)-f) Annäherung an die momentane Geschwindigkeit) oder grafisch mit dem Applet Sekantensteigung_Gepard (siehe Abschnitt 2. Schritt: Tangente las Grenzlage) bestimmt werden.
Mit diesen Messpunkten kann in GeoGebra eine Funktion modelliert werden (analog zum Abschnitt optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren).
Erkenntnis: Auch die Ableitung (nach der Zeit) bildet eine Funktion (in Abhängigkeit von der Zeit).
Die Reflexion des Vorgehens führt zu der Frage, wie diese Ableitungsfunktion ggf. einfacher aus der Bestandsfunktion gewonnen werden kann.
In den nächsten Schritten werden dazu über das graphische Ableiten erste Ableitungsregeln erarbeitet.2. Ableitung mit Geradenstücken
In der GeoGebra-Aktivität AB: Ableitung mit Geradenstücken bearbeiten die SuS mehrere Applets, die alle identisch aufgebaut sind, aber unterschiedliche Funktionen darstellen.
In regelmäßigen Abständen sind an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen an dieser Stelle möglichst gut approximieren, also tangential werden. Durch das Drehen der Strecken wird weiterhin ein Punkt, der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.
Die SuS erzeugen auch weitere Punkte mit Geradenstückchen (durch einen vorkonfigurierten Werkzeug-Button) und adaptieren damit das Applet.
Die SuS zeichnen, anknüpfend an die vorherige Modellierung, einen Graphen durch die entstandenen Punkte und beschreiben diesen.
Sie stellen auch Vermutungen über die Art der zum Graph gehörenden Funktion und deren Funktionsgleichung auf.
Die SuS geben auch eine andere Funktionsgleichung ein. In der Form können zu der Aktivität weitere Aufgaben gestellt werden (mit weiteren Funktionsgleichungen).
In der GeoGebra-Aktivität AB: Ableitung mit Geradenstücken bearbeiten die SuS mehrere Applets, die alle identisch aufgebaut sind, aber unterschiedliche Funktionen darstellen.
In regelmäßigen Abständen sind an einem Funktionsgraphen Strecken angebracht, die sich drehen lassen. Die Aufgabe besteht dann darin, sie nach Augenmaß so zu drehen, dass sie den Graphen an dieser Stelle möglichst gut approximieren, also tangential werden. Durch das Drehen der Strecken wird weiterhin ein Punkt, der sich in der Ausgangssituation an der gleichen Stelle auf der x-Achse befindet, so bewegt, dass seine y-Koordinate der Steigung der jeweiligen Strecke entspricht.
Die SuS erzeugen auch weitere Punkte mit Geradenstückchen (durch einen vorkonfigurierten Werkzeug-Button) und adaptieren damit das Applet.
Die SuS zeichnen, anknüpfend an die vorherige Modellierung, einen Graphen durch die entstandenen Punkte und beschreiben diesen.
Sie stellen auch Vermutungen über die Art der zum Graph gehörenden Funktion und deren Funktionsgleichung auf.
Die SuS geben auch eine andere Funktionsgleichung ein. In der Form können zu der Aktivität weitere Aufgaben gestellt werden (mit weiteren Funktionsgleichungen).Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB: Ableitung mit Geradenstücken
https://www.geogebra.org/m/v6eae5md
https://www.geogebra.org/m/v6eae5md 3. Graph der Ableitung zeichnen
In der vorherigen Aktivität wurden in GeoGebra diskrete Punkte des Ableitungsgraphen erzeugt.
Nun lernen die SuS die Spur-Funktion in GeoGebra kennen, mit der sie einen kontinuierlichen Ableitungsgraph erhalten.
Die GeoGebra-Aktivität Graph der Ableitung zeichnen bietet den SuS eine Anleitung dafür.
Mit dieser Funktionalität zeichnen sie nun Ableitungsgraphen zu "einfachen" Funktionen (z.B. ) und bereiten damit die Erarbeitung der Ableitungsregeln vor.
Die GeoGebra-Aktivität Graph der Ableitung zeichnen bietet den SuS eine Anleitung dafür.
Mit dieser Funktionalität zeichnen sie nun Ableitungsgraphen zu "einfachen" Funktionen (z.B. ) und bereiten damit die Erarbeitung der Ableitungsregeln vor.Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB: Graph der Ableitung zeichnen
https://www.geogebra.org/m/nfxjef92
https://www.geogebra.org/m/nfxjef92Kontrollübung
Mit der GeoGebra-Aktivität AB Kontrolle Graph der Ableitung lassen sich die Erkenntnisse zum Graph der Ableitung aus den vorherigen Phasen überprüfen und sichern. Sie bietet sich auch als Hausaufgabe an und kann mit weiteren Aufgabenstellungen verknüpft werden.
Mit der GeoGebra-Aktivität AB Kontrolle Graph der Ableitung lassen sich die Erkenntnisse zum Graph der Ableitung aus den vorherigen Phasen überprüfen und sichern. Sie bietet sich auch als Hausaufgabe an und kann mit weiteren Aufgabenstellungen verknüpft werden.Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB: Kontrolle Graph der Ableitung
https://www.geogebra.org/m/y5bs2fwf
https://www.geogebra.org/m/y5bs2fwf4. Ableitungsregeln erkunden
In der GeoGebra-Aktivität Ableitungsregeln erkunden stellen die SuS Vermutungen über die Funktionsgleichungen von Ableitungsfunktionen einfacher Bestandsfunktionen auf.
Sie überprüfen ihre Vermutungen, indem sie die per Spur gezeichneten Funktionsgraphen in GeoGebra modellieren und erkennen, dass der polynomielle Ansatz für die Exponential- und die Sinusfunktion nicht hilfreich ist.
In der GeoGebra-Aktivität Ableitungsregeln erkunden stellen die SuS Vermutungen über die Funktionsgleichungen von Ableitungsfunktionen einfacher Bestandsfunktionen auf.
Sie überprüfen ihre Vermutungen, indem sie die per Spur gezeichneten Funktionsgraphen in GeoGebra modellieren und erkennen, dass der polynomielle Ansatz für die Exponential- und die Sinusfunktion nicht hilfreich ist.
Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB: Ableitungsregeln erkunden
https://www.geogebra.org/m/vek5dd6x
https://www.geogebra.org/m/vek5dd6x