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GP2 PEI-1 2023

Autor:Fernando Meseguer Garrido

Enunciado

Una cónica es tangente a los tres lados del trilátero isósceles (t1, t2, t3), y se conocen los puntos de tangencia T1 y T2. Determinar las intersecciones de la recta r con la cónica.

Resolución

  • Determinando el centro de la cónica
Por simetría la intersección de t3 y r es un punto de la cónica (T3, punto de tangencia de t3), y r es un diámetro de la misma, con lo que si se determina el centro O de la elipse el otro punto de corte será el simétrico de T3 con respecto a O, Ts. También se puede razonar de la siguiente manera: 1- Dado S=t1∩t2 su polar es s=T1∩T2. R es el punto intersección de s y t3, R=s∩t3, con lo que su polar r, contiene a S y al punto de tangencia 2- T3, r=S∩T3. Como s y t3 son paralelas, R∞ es impropio, por lo que r es un diámetro de la cónica, y contiene al centro O de la misma (el polo de la recta impropia). 3- Para determinar dicho centro se toma, por ejemplo, el punto J=t1∩t3, cuya polar es j=T1∩T3. 4- Si F∞ es el punto impropio de j, f∈J y f es un diámetro de la cónica. Además se sabe que en la involución que subordina la cónica sobre j, donde T1 y T3 son elementos dobles, F∞ y F' (el pie de su polar) son homólogos, con lo que (F∞F'T1T3)=-1. Eso lleva, al ser F∞ impropio, a que (F'T1T3)=-1, Es decir, F' es el punto medio de T1 y T3 . Además, como F∞∈t2 entonces f∈T2. Ambas construcciones permiten determinar f. 5- O=f∩r. 6-Determinando Ts el simétrico de T3 con respecto a O, se tienen los dos puntos de intersección de r con la cónica.
  • Empleando la propiedad de que los puntos dobles separan armónicamente a cualquier pareja de homólogos en una involución.
1- Igual que en el caso anterior, dado S=t1∩t2 su polar es s=T1∩T2. R es el punto intersección de s y t3, R=s∩t3, con lo que su polar r, contiene a S y al punto de tangencia 2- T3, r=S∩T3. En la involución que subordina la cónica sobre la recta r S y S' son homólogos, y T3 es uno de los puntos dobles. se puede determinar el otro punto doble, Ts, empleando la propiedad de que (SS'TsT3)=-1 mediante 3- Un 4- Cuadrivértice 5- Completo 6- Que determina Ts el otro punto de intersección de r con la cónica. 7- En este paso se muestra la cónica y sus intersecciones, aunque no se emplee en la resolución. Nótese que se pueden mover los vértices blancos t1∩t2 y t2∩t3 para cambiar la posición del enunciado. Nótese que existen otras metodologías de resolución no presentadas aquí que no emplean conceptos de polaridad cuyo trazado es mucho más laborioso.

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