Applicazioni: il valore medio di una funzione
Un'importante applicazione della teoria degli integrali definiti, ed in particolare della prima parte del Teorema della media integrale, è che esso ci permette di calcolare il valore medio di una funzione (cioè della grandezza che rappresenta) su un certo intervallo.
Il concetto della prima parte del Teorema della media integrale è ripreso nell'immagine qui sotto
![[size=85]Il teorema della media integrale afferma data una funzione continua in un intervallo (nell'esempio [math]\left[1,3\right][/math]), è possibile trovare un valore medio [math]y_M[/math] tale per cui [color=#38761d][b]l'area sottesa alla funzione originale[/b][/color] sia uguale a quella del rettangolo in figura, cioè [color=#0000ff][b]quella sottesa alla funzione costante [/b][/color][math]\textcolor{blue}{y=y_M}[/math]. [color=#ff0000]Di conseguenza il valore [math]y_M[/math] può essere considerato l'altezza media[/color] [color=#38761d]della figura sottesa alla funzione[/color]; dato che l'altezza y non è altro che il risultato della funzione, [math]y_M[/math] [color=#ff0000]è il risultato medio della funzione stessa in quell'intervallo[/color].
[la tesi del teorema in realtà è più complessa: afferma che il valore medio [math]y_M[/math] può sempre essere visto come risultato della funzione di un certo input [math]x_M[/math] preso nell'intervallo considerato. Nell'esempio afferma cioè che [math]\exists x_M \in [1,3]\quad |\quad y_M=f(x_M)[/math]. Questo secondo aspetto del teorema, che è quello ESSENZIALE per poter dimostrare il teorema Fondamentale del calcolo integrale, non ci interessa però in questa sede].[/size]](https://www.geogebra.org/resource/ggqey5pd/PlnZsyWYa4XfYkfo/material-ggqey5pd.png)
Il discorso puramente geometrico ribadito nella didascalia della figura potrebbe essere messo in connessione al concetto di valor medio dicendo che è l'altezza media del grafico della funzione nell'intervallo considerato. Dato che la coordinata dei punti del grafico di una funzione rappresentano il risultato della funzione stessa, è di fatto il risultato medio della funzione nell'intervallo considerato.
Vediamo ora alcuni esempi significativi di calcolo della media, in modo da approfondire e consolidare il significato di questa operazione.
SIGNIFICATO E CALCOLO DEL VALORE MEDIO
LA MEDIA CHE TUTTI SANNO FARE: MEDIA DEI VOTI
Per ricollegarci al significato più comune di media fra più valori, prendiamo l'esempio che tutti gli studenti associano all'idea di media. Se prendo i seguenti voti: quando faccio la media trovo:
che vuol dire: al posto di prendere i miei sei voti diversi uno dall'altro è come se avessi preso sempre in ogni prova: la media ridistribuisce lo stesso punteggio complessivo di in modo equo tra le 6 prove.
UN CASO SEMPLICE DI MEDIA PONDERATA
Per approfondire il concetto di media dobbiamo introdurre (o ripassare) il concetto di media pesata o ponderata (dal latino pondus=peso). Ad esempio la media dei voti appena vista può essere riscritta così
La scrittura è del tutto equivalente, ma abbiamo messo in evidenza il numero di volte in cui ho ricevuto ogni singolo voto (quello che in probabilità è definito la sua frequenza), di fatto ad ogni voto abbiamo attribuito un peso differente nella media, dato dalla sua frequenza: più spesso abbiamo ottenuto un certo voto, maggiore sarà il suo peso nel definire la media finale. ha un peso maggiore degli altri, perché capita tre volte e quindi incide maggiormente sulla media; per lo stesso motivo il voto ha un peso 2.
Il numero totale di prove, a denominatore, può essere visto come somma dei pesi (cioè somma delle frequenze dei vari voti).
GENERALIZZIAMO LA MEDIA PONDERATA
Questo concetto si può generalizzare. Certi insegnanti decidono di dare meno peso a certi voti, non perché siano capitati meno spesso ma perché ad esempio sono associati a certi tipi di prove, come quelle di gruppo, in cui il contributo ed il "merito" dei singoli studenti è meno facilmente definibile. Quindi supponendo che i voti siano la media normale sarebbe
Ma supponendo che il fosse il frutto di un lavoro di gruppo, l'insegnante allora potrebbe decidere di far valere questo voto la metà (o due terzi, o qualsiasi altro peso), mentre tutti gli altri valgono normalmente come un voto. Questo NON significa trasformarlo in un , bensì calcolare la seguente media pesata:
Da notare che anche il numero totale di prove è cambiato: non ne sono state fatte più bensì .
Abbiamo visto che possiamo generalizzare il concetto di media ponderata, attribuendo pesi diversi ai vari valori a seconda delle nostre esigenze. L'applicazione adeguata della media ponderata è fondamentale per capire come calcolare in modo corretto il valore medio di una determinata grandezza, come vedremo nel prossimo esempio.
UN'APPLICAZIONE CONCRETA: LA VELOCITÀ MEDIA
Supponiamo che un'auto compia un viaggio di 8 ore e che viaggi per un certo tratto agli e per un altro ai . È corretto affermare che la sua velocità media è pari a ?
Una breve riflessione ci fa capire che questo calcolo non è corretto. È infatti necessario sapere il peso di ognuna delle due velocità nel viaggio. Ad esempio se l'auto ha viaggiato per soli trenta minuti agli e le restanti 7 ore e mezzo ai sarebbe evidente che ci aspettiamo che la velocità sia molto più vicina al valore più basso, in quanto è quello che ha caratterizzato il viaggio per la quasi totalità del viaggio. Calcolare le media semplice delle velocità assunte sarebbe altrettanto sbagliato che calcolare il voto medio del primo esempio come , ignorando che i vari voti sono stati ottenuti con una frequenza diversa e quindi hanno peso differente sulla media finale.
Possiamo allora pensare di svolgere la media pesando ogni velocità per l'intervallo di tempo per cui essa è stata effettivamente assunta durante il viaggio.
Il valore ottenuto è molto più ragionevole, dato che è molto più vicino ai . Se osserviamo meglio il significato del calcolo che abbiamo svolto possiamo avere un'ulteriore conferma della validità della nostra scelta
I termini "pesati" a numeratore ci danno lo spazio percorso nei due tratti, che sommati ci danno la distanza totale percorsa, mentre a denominatore abbiamo il tempo totale impiegato. Di fatto abbiamo calcolato la velocità media come spazio totale diviso tempo totale. In termini generali se consideriamo un viaggio in cui abbiamo (ad esempio) tre velocità , rispettivamente adottate per intervalli di tempo , abbiamo che la velocità media si può calcolare con la seguente media pesata
che conferma quanto detto sopra; possiamo anche interpretare la formula osservando che abbiamo ridistribuito in modo uniforme lo spazio complessivo percorso rispetto al tempo impiegato, esattamente come per la media dei voti avevamo ridistribuito il punteggio totale ottenuto tra le varie prove.
Osservando il grafico della velocità in funzione del tempo possiamo notare che si ritrovano tutti i significati con cui abbiamo interpretato il significato di valore medio.
Riassumiamo. Il teorema del valore medio ci dice che il valore medio della velocità nel nostro problema si ottiene tramite l'espressione
DAL PUNTO DI VISTA GEOMETRICO
Il numeratore è l'area sottesa, mentre il denominatore è la lunghezza della base della figura; troviamo quindi , l'altezza del rettangolo equivalente alla figura sottesa, cioè l'altezza media della figura (l'altezza che avrebbe la figura se avesse altezza costante). Abbiamo quindi la ; dato che sulle c'è l'output della funzione graficata si tratta del valore medio della funzione, in questo caso della velocità.
COME MEDIA PONDERATA
Abbiamo la media dei valori della funzione (in questo caso la velocità), ognuno pesato per l'intervallo per cui esso è valido (in questo caso l'intervallo di tempo durante il viaggio):
Questa interpretazione è particolarmente evidente per la funzione a tratti utilizzata nell'esempio, in cui la composizione dei vari contributi è evidente, ma resta valida anche per curve più complesse dato che l'integrale è l'evoluzione di una sommatoria, nell'intervallo considerato, dei vari output , ognuno moltiplicato (e quindi "pesato") per l'intervallo .
INTERPRETAZIONE CINEMATICA
Per questo problema specifico si verifica facilmente che la modalità di pesatura scelta è adeguata, perchè l'integrale a numeratore ci restituisce lo spazio totale percorso, mentre il denominatore coincide con il tempo totale trascorso, ed il rapporto tra i due coincide con la definizione cinematica di velocità media.
Il video sottostante rivede i concetti qui esposti, in particolare collegandoli allo strumento dell'integrale definito.
Qui sotto trovi il primo applet utilizzato nel video. L'interruttore rosso ti permette di muoverti tra la visualizzazione a rettangoli e quella del singolo contributo "puntiforme" della funzione, di cui l'integrale calcola la media.