complex3points

Autor:Walter Füchte

3 (verschiedene) Punkte oder komplexe Zahlen liegen stets auf einem Kreis, in seltenen Fällen auf einer Geraden. Projiziert man vom Nordpol der Einheitskugel aus diese Punkte stereographisch auf die Einheitskugel, so liegen die (verschiedenen) Bildpunkte stets auf einer Ebene, welche die Kugel in einem Kreis schneidet. In seltenen Fällen geht dieser Kreis durch den Nordpol, die Punkte in der Ebene sind dann kollinear. Die Geraden sind stereographisch gerade die Kreise durch den Nordpol. 4 Punkte in der Ebene, als komplexe Zahlen a, b c, d dargestellt liegen genau dann auf einem Kreis („Gerade“ inbegriffen), wenn ihr komplexes Doppelverhältnis reell ist:

Hierbei ist im(z) der Imaginärteil der komplexen Zahl z. Setzt man in der Gleichung

, so erhält man eine implizite Gleichung für den Kreis, bzw. die Gerade durch die Punkte a,b,c. Eine Fallunterscheidung ist unnötig! Wendet man in einer GeoGebra-Aktivität das Tool „Kreis durch 3 Punkte“ auf 3 kollineare Punkte an, so ist die Aktivität solange blockiert, bis man die „Doppelgerade“ durch

(was immer das sein soll!) wieder gelöscht hat! Im Applet oben wurde mit der angegebenen Gleichung ein benutzerdefiniertes Werkzeug erstellt, mit welchem zu 3 verschiedenen Punkten der Kreis, oder gegebenenfalls die Gerade durch die 3 Punkte konstruiert werden. Dies auch dann, wenn der Nutzer nicht so genau erkennen kann, ob ein Kreis oder eine Gerade durch die 3 Punkte geht. Dies soll ja vorkommen! Übrigens: die Punkte müssen zum Testen nicht als komplexe Zahlen dargestellt werden!

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