Planeetbaan Kepler
Wat doet deze applet?
Deze applet simuleert de beweging van een planeet in zijn baan om de Zon. De baan van de planeet is een ellips (eerste wet van Kepler), met de Zon in één van de brandpunten van de ellips.
Hoe de planeet langs de baan beweegt, wordt beschreven door de tweede wet van Kepler, de Perkenwet. Deze applet berekent deze beweging op dezelfde manier zoals Kepler dat in 1605 deed.
De baan van de planeet
Volgens de eerste wet van Kepler is de baan van een planeet een ellips, met de Zon in één van de twee brandpunten. Met deze applet kun je je eigen planeetbaan maken door te schuiven met de schuifknoppen a en e.
De waarde a noemen we de halve lange as van de ellips. Dit is gelijk aan de gemiddelde afstand van de planeet tot de Zon. Deze afstand drukken we uit in Astronomische Eenheden. 1 AE is ongeveer 150 miljoen kilometer (de gemiddelde afstand van de Aarde naar de Zon).
Het punt van de baan dat het dichtst bij de Zon ligt heet het perihelium, het punt dat het verste weg ligt heet aphelium.
De omlooptijd van de planeet om de Zon
De omlooptijd T van de planeet wordt berekend met de derde wet van Kepler: . Hierin wordt T uitgedrukt in jaren en a in AE.
In deze applet rekenen we T voor het gemak om in dagen, door te vermenigvuldigen met 365.25: .
Ware anomalie
In deze applet gaan we er van uit dat de planeet op het tijdstip t=0 in het perihelium staat. De planeet beweegt tegen de wijzers van de klok in langs zijn baan, en keert op het tijdstip t=T weer terug in het perihelium. In deze applet zie je een schuifknop t, die een waarde kan hebben van 0 tot T.
Op een zeker tijdstip t heeft de planeet ten opzichte van de Zon een hoek afgelegd. We noemen deze hoek de ware anomalie.
Vanuit de tweede wet van Kepler, de Perkenwet, weten we dat de planeet het snelst langs zijn baan beweegt bij het perihelium, en het langzaamst bij het aphelium. De ware anomalie neemt dus sneller toe in de tijd bij het perihelium, en langzamer bij het aphelium. De ware anomalie is niet rechtstreeks uit te rekenen. Dat moet via een omweggetje, via de gemiddelde anomalie en de excentrische anomalie.
Gemiddelde anomalie
De gemiddelde anomalie M wordt berekend uit de gemiddelde hoeksnelheid van de planeet: .
Excentrische anomalie
Kepler tekende om de elliptische planeetbaan een omgeschreven cirkel. Het middelpunt O van deze cirkel ligt precies tussen de twee brandpunten van de ellips, en de straal van de cirkel is gelijk aan de halve lange as van de ellips. De positie van de planeet wordt geprojecteerd op deze cirkel, in het punt P.
De excentrische anomalie E is de hoek die de lijn OP maakt met de lijn van O naar het perihelium.
Formule van Kepler
Het verband tussen de gemiddelde anomalie M en de excentrische anomalie E wordt gegeven door de vergelijking van Kepler:
Met Geogebra is deze vergelijking makkelijk op te lossen. We maken een functie en laten Geogebra uitrekenen wanneer deze functie 0 is. Dat is het geval als de functie de X-as snijdt. Hiermee rekenen we de waarde van E uit op het tijdstip t.
Terug naar de ware anomalie
Nu E bekend is kunnen we met het nodige rekenwerk de ware anomalie uitrekenen. In deze applet doen we dat rekenwerk echter niet. We gebruiken Geogebra om de planeet keurig langs zijn baan te laten bewegen, en Geogebra meet de ware anomalie voor ons op.
Animatie!
Met de start- en stop-knop kun je de animatie aan en uit zetten.
De berekening loopt als volgt:
- De schuifknop t krijgt animatie en loopt van t=0 naar t=T.
- Vanuit t wordt de gemiddelde anomalie M berekend.
- Met de vergelijking van Kepler wordt de excentrische anomalie E uitgerekend.
- De positie van punt P wordt in de tekening aangepast, en daarmee ook de positie van de planeet.
Instellingen
Experimenteer met de volgende instellingen:
- De gemiddelde afstand a van de planeet tot de Zon
- De ellipticiteit e van de planeetbaan
- Zet de hulpcirkel aan of uit met het vinkje
- Laat een perk zien door het vinkje aan of uit te zetten; stel de perkgrootte in met de schuifknop
- Stel de snelheid van de simulatie in met de schuifknop links