M1 AB III.1 Ableitung mit Geradenstücken
In diesem AB ermitteln Sie die Ableitung einer Funktion anhand des Graphen.
Tipps:
- Wenn man die kleinen Geradenstückchen an den grünen Endpunkten bewegt, bewegen sich auch die kleinen roten Quadrate.
- Die x-Werte der roten Quadrate bleiben gleich, sie stimmen mit den x-Werten der orangenen Punkte auf dem Graph überein.
- Ist ein Geradenstückchen waagerecht, liegt das rote Quadrat auf der x-Achse.
Aufgabe 1: Zusammenhänge erkunden a) Erkunden Sie die Konstruktion in Beispiel 1 und beschreiben Sie, wie die Bewegung der roten Quadrate mit der Ausrichtung der Geradenstückchen zusammenhängt.
Beispiel 1
b) Verändern Sie die Lage der Geradenstückchen so, dass sie sich möglichst gut an den
Funktionsgraph anschmiegen.
Nutzen Sie dann den Stift 
um einen Funktionsgraph zu skizzieren, der möglichst
gut zu den roten Quadraten passt. Welche Zusammenhänge beobachten Sie?
Aufgabe 2 Gehen Sie wie in Aufgabe 1 auch bei den Beispielen 2 und 3 vor. Stellen Sie Vermutungen zu allen drei Steigungsgraphen und deren Funktionstermen an.
Beispiel 2
Beispiel 3
Aufgabe 3
Überprüfen Sie Ihre Graphen der Ableitung in den drei Beispielen, indem Sie die Ableitung an weiteren Stellen mit Geradenstückchen überprüfen.
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
1. Erstellen Sie mithilfe des individuellen Werkzeugs 
ein weiteres drehbares Geradenstückchen.
Das passende rote Quadrat wird automatisch erzeugt.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Wählen Sie das individuelle Werkzeug aus.
b) Klicken Sie auf den blauen Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.
c) Klicken Sie erneut an der Stelle auf den blauen Funktionsgraph, an dem das Geradenstückchen
entstehen soll. Dadurch wird dort ein blauer Punkt auf den Funktionsgraph gesetzt.
d) Klicken Sie auf den Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.
e) Klicken Sie auf den unter c) erzeugten blauen Punkt.
Nun erscheinen das gewünschte Geradenstückchen und das passende rote Quadrat.
2. Richten Sie das Geradenstückchen so aus, dass es "möglichst gut" an den Graphen von f passt.
3. Überprüfen Sie, ob das rote Quadrat auf dem von Ihnen gezeichneten Graphen liegt.
4. Bewegen Sie den im ersten Schritt erzeugten blauen Punkt auf dem Graphen entlang und
überprüfen Sie die Lage des roten Quadrats, ob es auf Ihrem gezeichneten Graphen liegt.
ein weiteres drehbares Geradenstückchen.
Das passende rote Quadrat wird automatisch erzeugt.
Gehen Sie dabei wie folgt vor:
a) Wählen Sie das individuelle Werkzeug aus.
b) Klicken Sie auf den blauen Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.
c) Klicken Sie erneut an der Stelle auf den blauen Funktionsgraph, an dem das Geradenstückchen
entstehen soll. Dadurch wird dort ein blauer Punkt auf den Funktionsgraph gesetzt.
d) Klicken Sie auf den Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.
e) Klicken Sie auf den unter c) erzeugten blauen Punkt.
Nun erscheinen das gewünschte Geradenstückchen und das passende rote Quadrat.
2. Richten Sie das Geradenstückchen so aus, dass es "möglichst gut" an den Graphen von f passt.
3. Überprüfen Sie, ob das rote Quadrat auf dem von Ihnen gezeichneten Graphen liegt.
4. Bewegen Sie den im ersten Schritt erzeugten blauen Punkt auf dem Graphen entlang und
überprüfen Sie die Lage des roten Quadrats, ob es auf Ihrem gezeichneten Graphen liegt.
Aufgabe 4
Geben Sie in dem weiteren Beispiel unten eine andere Funktionsgleichung in der Eingabezeile ein
(z.B. ).
Passen Sie die Geradenstücke an und Skizzieren Sie anschließend einen Graph durch die roten Quadrate, wie in den Aufgaben 1 und 2.
weiteres Beispiel
Quellen:
Diese und weitere Aktivitäten finden sich im GeoGebra-Buch Tangentenstückchen ::: Unterricht mit MMS (https://www.geogebra.org/m/tmsfvvpv).
Quellenautoren: Reinhard Schmidt