Pythagoras
de beste samenklanken als vertrekpunt
Geluid is de waarneming van een trilling die zich voortgeplant door de lucht.
De drukgolf van deze trilling wordt weergegeven door een sinusfunctie. Hierin bepaalt de amplitude de geluidssterkte en de periode de toonhoogte. Een trilling met een kortere periode trilt sneller en nemen we waar als een 'hogere' toon. Het aantal trillingen per seconde noemt men de frequentie, met als eenheid Herz (Hz).
In de tijd van Pythagoras (ca. 500 v.Chr.) kende men het golfkarakter van geluid nog niet. Pythagoras kon wel de toonhoogtes en de samenklanken vergelijken van zgn. monochorden, instrumenten met één snaar.
Hij stelt zich de vraag welke tonen volgens hem meer of minder welluidend waren. Hij gaat er van uit dat alles kan begrepen worden in verhoudingen van gehele getallen en vind alvast deze veronderstelling bevestigd in zijn toonexperimenten: Langere snaren produceren lagere tonen en de meest welluidende samenklanken vind je door een snaarlengte te halveren en te verdubbelen. We horen deze tonen bijna als dezelfde toon, alleen lager of hoger. Deze halveringen (m.a.w. een verdubbeling van frequentie) neemt hij daarom als basis voor zijn toonsysteem.
onderverdeling en opbouw van het toonsysteem
Nu was het nog een kwestie hoeveel en welke tussenliggende toonhoogtes je opneemt in je systeem.
In theorie is het aantal en de grootte van de onderverdelingen onbeperkt. Als houvast vertrekt Pythagoras opnieuw van samenklanken. De toon voor 2/3e van de volledige snaarlengte vind hij ook erg welluidend en die gebruikt hij om zijn basisafstand stapsgewijs verder onder te verdelen.
Wij weten intussen dat de frequentie (en dus de toonhoogte) omgekeerd evenredig is met de golflengte.
Je kan even goed over verdubbelen van frequentie spreken als over halveren van de snaarlengte.
Zo bouwt Pythagoras zijn toonsysteem op door steeds de frequentie van een toon te vermenigvuldigen met 3/2.
over octaven en kwinten
Je kunt toontrappen nummeren. Pythagoras bepaalt 7 trappen, waarna de volgende trap neerkomt op een verdubbeling van de frequentie. Deze 8e trap noem je daarom octaaf. Octaven vormen de basis van het toonsysteem.
De toonhoogte met een frequentie, gelijk aan 3/2 van de basistoon zal neerkomen op de 5e tram. Deze noem je daarom kwint. De onderverdeling van het octaaf gebeurt door het stapelen van kwinten (m.a.w. toenemende machten van 2).
de opbouw
De opbouw van het toonsysteem steunt dus op volgende bewerkingen:
- Een octaaf verhogen = . 2
- Een octaaf verlagen = : 2
- Een kwint verhogen = . 3/2
- Een kwint verlagen = : 3/2
Pythagoras vertrekt van een grondtoon en de verhouding 3/2 tot de kwint.
De kwint van de kwint wordt dan 3/2 x 3/2 enz.
Het resultaat is een toonsysteem met 7 stamtonen.
Volg de opbouw van deze verdeling in onderstaand applet:
een toonladder met 7 stamtonen
... en halve noten
De verdeling van een octaaf in hele en halve toontrappen is geen keuze van Pythagoras.
Ze is een gevolg de aanpak om het basisinterval te verdelen: het gebruiken van de 3/2 verhouding.
Dit is een culturele keuze, net zoals het aantal stamtonen waarmee men werkt.
Wij zijn gewoon om melodielijnen te maken met 7 stamtonen. Het hadden er ook 5 of 8 of 9 kunnen zijn.
Stop je niet bij 7 tonen, dan kan je verder gaan tot het octaaf verdeeld is in enkel halve toonafstanden.
De witte toetsen op een piano produceren de 7 stamtonen. De zwarte toetsen produceren de 5 bijkomende toonhoogtes. Deze krijgen geen aparte naam maar krijgen een bijgevoegd teken om aan te duiden dat ze een verhoging () of verlaging () zijn van een van de stamtonen zijn, bijvoorbeeld: sol en sol.