Razões trigonométricas de ângulos maiores que 90°
Até aqui estudamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente limitadas a ângulos entre 0° e 90°, nesta atividade vamos mostrar como é possível tornar os conceitos de seno, cosseno e tangente ainda mais gerais, associando-os também a ângulos fora deste intervalo, mas ainda limitados ao intervalo entre 0° e 360°. Dizemos que α é um ângulo do 1º quadrante quando 0° < α < 90°. Dizemos que α é um ângulo do 2º quadrante quando 90° < α < 180°. Dizemos que α é um ângulo do 3º quadrante quando 180° < α < 270°. Dizemos que α é um ângulo do 4º quadrante quando 270° < α < 360°. Nosso objetivo aqui é mostrar como é possível encontrar os valores das razões trigonométricas relacionadas a um ângulo α localizado no 2º, 3º ou 4º quadrante a partir de um ângulo X do 1º quadrante associado a α. Observe que, na Construção 1, ao deslocarmos o ponto C, o ângulo vermelho X, embora apareça em diferentes quadrantes, é considerado um ângulo do 1º quadrante, já que é sempre agudo, isto é, menor que 90°.
Construção 01
Questão 01
Ao posicionamos o ponto C fora do primeiro quadrante, obtemos um ângulo vermelho X. Os ângulos verde e vermelho são sempre congruentes? Justifique sua resposta.
Questão 02
(a) Quando α é um ângulo do 2º quadrante, qual o valor da soma dos ângulos α e X? (b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 2º quadrante escolhida por você para o ponto C.
Questão 03
(a) Quando α é um ângulo do 3º quadrante, qual o valor da diferença entre os ângulos α e X? (b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 3º quadrante escolhida por você para o ponto C.
Questão 04
(a) Quando α é um ângulo do 4º quadrante, qual o valor da soma dos ângulos α e X? (b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 4º quadrante escolhida por você para o ponto C.
Construção 02
Comprimento Orientado
Questão 05
Considerando a definição de comprimento orientado dada acima e observando as relações entre os comprimentos orientados dos segmentos azul e lilás, estabeleça as relações entre o seno de α e o seno de X para cada um dos quadrantes. A seguir faça o mesmo para o cosseno, considerando os segmentos vermelho e laranja.
Na construção abaixo, os segmentos verticais azul e verde possuem uma extremidade comum no ponto A, localizado sobre o eixo x. Desse modo, assim como feito na Construção 2, podemos também aqui dizer que os segmentos azul e verde possuem comprimento orientado positivo, quando estão acima do eixo x e negativo quando estão abaixo. Considerando o que aprendemos na atividade sobre ciclo trigonométrico podemos afirmar que a tangente de α é o comprimento orientado do segmento verde e a tangente de X, quando não coincide com a tangente de α, é dada pelo comprimento orientado do segmento azul.
Construção 03
Questão 06
A partir dos comprimentos dos segmentos verde e azul, estabeleça as relações entre a tangente do ângulo α e a tangente do ângulo X para cada um dos quadrantes.
Questão 07
O que ocorre com o valor da tangente de α: (a) quando α = 0° ou α = 180°? (b) quando α = 90° ou α = 270°? (c) a medida que o valor de α se aproxima de 90°, mas sem assumir esse valor? (d) a medida que o valor de α se aproxima de 270°, mas sem assumir esse valor?