O Princípio de Cavalieri na dedução de volumes

O Princípio de Cavalieri nos diz que, considerando dois sólidos quaisquer, que tenham alturas iguais e seccionarmos esses sólidos a uma mesma altura, se essas secções sempre tiverem a mesma área, o volume desses sólidos é igual.

No applet a seguir, o prisma de base triangular é formado pelas três pirâmides. Movendo-se os pontos brancos, podemos separá-las para melhor visualização, enquanto que os pontos azuis podem ser utilizados para mudar as dimensões da figura. Pelo Princípio de Cavalieri, ao mover o ponto amarelo, sempre de modo paralelo à base, obteremos uma nova pirâmide amarela, porém com seu volume conservado. Utilizando tal informação, prove que a pirâmide amarela possui volume igual ao das outras duas.

Podemos generalizar tal procedimento para para qualquer pirâmide de base poligonal, uma vez que todo polígono pode ser dividido em triângulos e, com isso, tal pirâmide poderá ser dividida em pirâmides triangulares de mesma altura.

Se considerarmos uma pirâmide e um cone, cujas áreas das bases e alturas são iguais, podemos encontrar uma relação entre seus volumes. Pelo Princípio de Cavalieri, traçamos um plano que contenha as bases das duas figuras, conforme o applet abaixo. Qualquer plano traçado paralelamente a esse plano, secciona a pirâmide e o cone em figuras de mesma área, visto que elas são proporcionais às suas respectivas bases.

Considere uma esfera e um cilindro equilátero de mesmo raio, ambos apoiados sobre um plano horizontal. Além disso, apoiado no mesmo plano, colocamos outro sólido formado por dois cones iguais, cujas bases são congruentes às bases do cilindro e os vértices estão no mesmo plano do centro do cilindro. Considere um plano α, paralelo ao plano de apoio, que dista h do centro dos sólidos. Seja r o raio da esfera e s o raio da seção circular gerada pela interseção de α com a esfera. Assim, temos e a área da seção da esfera será . Além disso, temos que a área da seção do cilindro é e a do cone é . Sendo assim, podemos concluir que a secção da esfera é igual à subtração da secção do cilindro pela seção do outro sólido. A partir desse fato, poderemos usar o Princípio de Cavalieri para calcular o volume da esfera.