Vertrauensintervalle - die Herleitung
Die Herleitung des Vertrauens- oder Konfidenzintervalls
Von den Sigmaregeln haben wir gelernt, dass etwa aller Ergebnisse eines -fach wiederholten Bernoulli-Experimentes in der einfachen Sigma-Umgebung um den Erwartungswert zu finden sind.
Man kann auch umgekehrt argumentieren:
Wenn ein einziges solches Experiment gemacht wurde, dann liegt der Erwartungswert mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von etwa 68% im Bereich der einfachen Sigma-Umgebung um unser Messergebnis. Das ist in der Abbildung oben mit dem transparenten blauen Kasten um den blauen Messwert angedeutet. Der blaue Kasten ist genauso breit, wie eine sigma-Umgebung. Das Gleiche gilt natürlich auch für Vielfache der Sigma-Umgebung bei höheren Sicherheitswahrscheinlichkeiten.
Vertrauens- oder Konfidenzintervalle erlauben den Rückschluss von dem Messwert aus einer Stichprobe auf die Gesamtheit.
Sehen wir uns ein Beispiel an:
Wahlforschung: Eine Befragung von Personen wird durchgeführt und Personen geben an, dass sie die Partei MLH (Partei der MathematikLiebHaber) tatsächlich wählen wollen. Nach unseren Überlegungen oben muss - mit Hilfe der Sigmaregeln - folgende Ungleichung für den Erwartungswert , die Standardabweichung und die Anzahl der günstigen Ereignisse gelten:
D.h. der Erwartungswert sollte mit der durch das vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit in der -fachen Sigma-Umgebung um unseren Messwert herum liegen. Teilen wir diese Ungleichung durch , dann erhalten wir mit , und der relativen Häufigkeit
Da ist, kann man mit die Ungleichung auch so schreiben:
Wir ziehen von allen Gliedern dieser Ungleichung ab und erhalten:
Und wenn nun alle Glieder dieser Ungleichung quadriert werden, dann fällt der linke Teil weg. Denn weil minus mal minus = plus gilt, ist der linke Teil dann identisch mit dem rechten Teil der Ungleichung:
Wenn man aus dieser Ungleichung die Gleichung erstellt und diese nach p auflöst, dann erhält man zwei Zahlen als Ergebnis: Eine untere und eine obere Grenze eines Intervalls, in dem die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegen wird.
Lösen der Gleichung
Diese Gleichung wird in der Schule eigentlich immer mit einem CAS gelöst:
Mit dem HP-Prime: solve( , )
Es geht aber auch händisch mit der pq- oder der Mitternachtsformel:
Da es einfacher ist ohne Brüche zu rechnen, multiplizieren wir hier die Gleichung mit :
Nun alle Terme auf eine Seite bringen und nach Potenzen von sortieren:
Ausklammern:
Nun kann man die Mitternachtsformel () anwenden, um die Gleichung nach aufzulösen. Es geht auch mit der pq-Formel, aber dann müssten wir zuerst die ganze Gleichung normieren, d.h. durch teilen.
unter der Wurzel lässt sich noch ein ausklammern und als vor die Wurzel ziehen. Dann erhalten wir