Vertrauensintervalle - die Herleitung
Die Herleitung des Vertrauens- oder Konfidenzintervalls
Bei den Sigmaregeln war eine Wahrscheinlichkeit bekannt und wir haben mit Hilfe einer gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit berechnet, welche Messwerte, also welche relativen Häufigkeiten , damit vereinbar sind. Bei den Vertrauensintervallen ist die Fragestellung umgekehrt:
Gegeben ist eine relative Häufigkeit aus einer statistischen Erhebung. Nun fragt man sich wieder unter der Bedingung einer gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit: In welchem Intervall wird wohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegen?
Vertrauens- oder Konfidenzintervalle erlauben den Rückschluss von dem Messwert aus einer Stichprobe auf die Gesamtheit.
Sehen wir uns ein Beispiel an:
Wahlforschung: Eine Befragung von Personen wird durchgeführt und Personen geben an, dass sie die Partei MLH (Partei der MathematikLiebHaber) tatsächlich wählen wollen. Nach unseren Überlegungen oben muss - mit Hilfe der Sigmaregeln - folgende Ungleichung für den Erwartungswert , die Standardabweichung und die Anzahl der günstigen Ereignisse gelten:
D.h. der Erwartungswert sollte mit der durch das vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit in der -fachen Sigma-Umgebung um unseren Messwert herum liegen. Teilen wir diese Ungleichung durch , dann erhalten wir mit , und der relativen Häufigkeit
Da ist, kann man mit die Ungleichung auch so schreiben:
Wir ziehen von allen Gliedern dieser Ungleichung ab und erhalten:
Und wenn nun alle Glieder dieser Ungleichung quadriert werden, dann fällt der linke Teil weg. Denn weil minus mal minus = plus gilt, ist der linke Teil dann identisch mit dem rechten Teil der Ungleichung:
Wenn man aus dieser Ungleichung die Gleichung erstellt und diese nach auflöst, dann erhält man zwei Zahlen als Ergebnis: Eine untere und eine obere Grenze eines Intervalls, in dem die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegen wird.
Das ist das gesuchte Vertrauensintervall.
Lösen der Gleichung
Diese Gleichung wird in der Schule eigentlich immer mit einem CAS gelöst:
Mit dem HP-Prime: solve( , )
Es geht aber auch händisch mit der pq- oder der Mitternachtsformel:
Da es einfacher ist ohne Brüche zu rechnen, multiplizieren wir hier die Gleichung mit :
Nun alle Terme auf eine Seite bringen und nach Potenzen von sortieren:
Ausklammern:
Nun kann man die Mitternachtsformel () anwenden, um die Gleichung nach aufzulösen. Es geht auch mit der pq-Formel, aber dann müssten wir zuerst die ganze Gleichung normieren, d.h. durch teilen.
unter der Wurzel lässt sich noch ein ausklammern und als vor die Wurzel ziehen. Dann erhalten wir