８。軌跡
１.軌跡とは
＜軌跡は点集合＞
条件にあう点集合を軌跡という。
（例）中心から一定の距離（ｒ）にある点集合は円。
（例）２定点ABから等しい距離にある点集合は、線分の垂直二等分線。
（例）２定直線から等しい距離にある点集合は、２直線が作る角の二等分線。
（例）２点からの距離の２乗差が一定の点集合は、直線。
（例）２点からの距離の２乗和が一定の点集合は、円。
（例）定点と定直線からの距離が一定の点集合は、放物線。
２．軌跡と方程式
座標を使うことで、条件を方程式に表すことができる。
ｋの恒等式にするにはｋを消去する。
＜ｋが任意の実数＞
（例）「２直線kx+2y+2k=0, 2x=kyの交点」の集合。
k(x+2)=-2y。k=2x/y。
,,
。中心（-1,0)で半径１の円。
（別解）２直線の傾きの積はだから直交する。それぞの通過する定点はx+2=0とy=0の交点（-2,0）とx=0,y=0の交点(0,0）だから、この２定点を直径とする円が軌跡。
＜軌跡が直線になるもの＞
(例）「定点O（0,0)、A(a,b)から等しい距離にある点」の集合。
距離の２乗も等しいから、
から、。
。OAと垂直でOAの中点を通る。
(例）「定点A（a,0)、B(b,0)から距離の２乗差がpの点P」の集合。
AP2-BP2=
から、。ABと垂直。
＜軌跡が曲線になるもの＞
(例）「定点A（a,0)、B(b,0)から距離の２乗和が(a-b)2/2+2c2の点P」の集合。
AP2-BP2=
から、
。。
中心がAとBの中点で、半径がcの円。
（例）「定点A(0,a)とx軸に平行な直線y-b=0から距離が等しい点」の集合。
点P（ｘ，ｙ）からの距離の２乗が等しいとする。
。となる。
から。
a=bのときは、直線ｙ＝ｂ。
その他で、Aと直線ｙ＝ｂまでの中点が頂点でｙ軸が軸の放物線。
Aを焦点、ｙ＝ｂを準線という。
（例）「２直線x-3y+1=0と3x-y-5=0の作る角を２等分する直線」は？
点P(x,y)から２直線におろした垂線の長さは等しい。
。だから、となる。
からx+y-3=0
からx-y-1=0
（例）「半径aで原点Oを通る円とx軸に平行な直線y=a+2に外接する円の中心P」の軌跡は？
円の中心P（ｘ，ｙ）から原点の距離の２乗OP2は、
。となる。
だから。
（例）「放物線y=x2へ互いに垂直な２本の接線が引ける点P」の軌跡は？
円の中心P（ｘ，ｙ）を通る傾きｍの直線Y=m(X-x)+y,は、放物線Y=X2と接するからX2=m(X-x)+y。
X2-mX+mx-y=0 D=m2-4(mx-y)=0, m2-4mx+4y=0 傾きmは２つ存在して、その積は-1。
解と係数の関係から4y=-1。直線y=-1/4。
３．軌跡としてかく図形
＜アポロニウスの円＞
２点A(a,0),B(b,0)に対して、AP:PB=m：n（ｍとｎが等しくない）の点集合。
から、
AとBをm2:n2に外分する点Cを中心とする円になる。
Cから直線AB上で半径だけ増減した点のｘ座標を計算すると、
（ABをm:nに内分する）
（ABをm:nに外分する）
したがって、ABをｍ：nに内分する点と外分する点を直径の両端とする円。
（例）点Pから２円(x+1)2+(y-1)2=1,(x-2)2+(y-4)2=4への
接線の接点までの長さ比が１：２となる点。
２円の中心Q(-1,1),R(2,4)、２円への接点をS,Tとする。
三角形PQSと三角形PRTはともに直角三角形で対応辺が
１：２の相似で、PQ:PR＝１：２となる。
２定点からの長さ比が一定の点集合はアポロニウスの円となる。
QRを１：２に内分する点Lは
QRを１：２に外分する点Nは
LとNの中点M＝が中心。
半径はLM=
＜相似形の作図＞
定点Aと図形F上の点Pがあるとき、APの中点Qの点集合は、
図形Fの２分の１の縮図になる。
＜反転図形＞
点Pが図形上の点のとき、定点Oからの半直線上の点P,QについてOP、OQの積が一定となる点QをPの反転図形という。たとえば、P(x,y)Q(X,Y)とするOP・OQ＝4とするときのP(x,y)をX,Yで表そう。
OP=tとすると、OQ=4/t。OP=(t；θ),OQ=(4/t ;θ)となる。(x,y)=(tcosθ,tsinθ),(X,Y)=(4/tcosθ,4/tsinθ)
cosθ=t/4･X、sinθ=t/4･Yだから、 (x,y)=(t2/4･X,t2/4･Y)。まだ、tが残っている。
また、X2+Y2=16/t2だから、t2=16/(X2+Y2)。t2/4=4/(X2+Y2)。このt2を代入しよう。
P(x,y)=。点Pが直線上2x+y=1を動くとき、
点Qは、2(4X)+4Y=(X2+Y2)上、(X-4)2+(Y-2)2=20=(2√5)2から中心（4,2)、半径2√5の円周上にある。