Praktikum: Symmetriebegriff
I. Analoges Praktikum
Nummer 1: Münzen-Rätsel (Gruppenarbeit zu dritt / viert)
Material: kleiner Spiegel, 3 Spielchips ("Münzen")
1. Lege die drei Münzen in einer senkrechten Linie vor dir auf den Tisch.
2. Nimm nun den Spiegel zur Hand und versuche folgende Aufgabe zu lösen:
Wie musst du den Spiegel halten damit du eine / zwei / drei / vier / fünf / sechs Münze(n) siehst ?
Hinweis: Die Münzen dürfen nicht mehr bewegt werden !
Versuche zu beschreiben, wie du den Spiegel positioniert hast, um eine / zwei / drei / vier / fünf / sechs Münze(n) zu sehen.
Variiere nun die Anordnung der Münzen. Die Aufgabenstellung bleibt gleich. Was fällt dir auf ?
Wie lange hast du in etwa für das Bearbeiten von Nummer 1 gebraucht ?
Nummer 2: Verknüpfung von zwei Achsenspiegelungen
Material: Geodreieck, Blanko-Papier (DIN A5), Stift
Teil 1:
1. Zeichne mithilfe des Geodreiecks eine senkrechte und eine waagrechte Gerade, die sich in der Mitte des Papiers orthogonal schneiden.
2. Zeichne nun ein beliebiges Dreieck, welches die Geraden nicht schneidet. Beschrifte die Eckpunkte des Dreiecks mit A, B und C (Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn).
3. Führe nun eine Achsenspiegelung mithilfe des Geodreiecks durch. Spiegle das Dreieck an der einen Geraden und beschrifte die Eckpunkte (diesmal mit A' , B' und C' ).
4. Das gespiegelte Dreieck spiegelst du nun an der anderen Geraden und benennst wieder die Eckpunkte ( A'' , B'' und C'' ).
Es sollten jetzt drei Dreiecke vorhanden sein.
Überlege dir den Zusammenhang zwischen dem ersten und dem dritten Dreieck. Was fällt dir auf ?
Welcher Zusammenhang ist dir aufgefallen ?
Teil 2:
Dir ist bestimmt aufgefallen, dass die zweimalige Achsenspiegelung an zwei senkrecht zueinander liegenden Geraden auch durch eine Punktspiegelung am Schnittpunkt der beiden Geraden ersetzt werden kann.
Überprüfe dein Ergebnis, indem du mithilfe des Geodreiecks die punktsymmetrische Lage des dritten Dreiecks zum ersten Dreieck untersuchst.
Wie lange hast du in etwa für das Bearbeiten von Nummer 2 (Teil 1 und 2) gebraucht ?
II. Digitales Praktikum
Nummer 1: Münzen-Rätsel
1. Lass dir im GeoGebra-Applet ein weites Koordinatengitter anzeigen (Einstellungsrad oben rechts --> Koordinatengitter anzeigen --> Weites Gitter).
2. Zeichne drei waagrecht nebeneinander liegende gleich große Kreise mit dem Befehl "Kreis mit MP und Radius"
. Wähle dafür einen Radius von 1 Längeneinheit. Positioniere die Kreise so, dass sie jeweils den gleichen Abstand zueinander haben und sich nicht gegenseitig schneiden bzw. berühren.
3. Benutze den Befehl "Gerade"
um eine senkrechte "Spiegelachse" einzuzeichnen. Positioniere die Gerade rechts oder links von den Kreisen mit etwas Abstand.
4. Spiegle alle drei Kreise mit ihren Mittelpunkten an der "Spiegelachse". Nutze dafür das Werkzeug "Spiegle an Gerade"
. Dafür musst du jeweils den Kreis oder Punkt auswählen und dann die Gerade anklicken.
An dieser Stelle müsste deine Konstruktion folgendermaßen aussehen:
Sechs gleich große waagrecht nebeneinander liegende Kreise werden durch eine senkrecht verlaufende Gerade in zwei "Gruppen" mit je drei Kreisen aufgeteilt.
Die Kreise symbolisieren Münzen, die Gerade eine Spiegelachse.
Die Aufgabe lautet nun: Wie musst du die Spiegelachse bewegen damit du drei / vier / fünf / sechs "Münzen" siehst ?
Die Spiegelachse (Gerade) bewegst du mit dem Werkzeug "Bewege"
. Achte darauf, dass du zuerst beim Bewegen der Gerade nicht die beiden Punkte auf der Geraden auswählst, sondern wirklich die Gerade selbst. Wähle im Anschluss mal einen der beiden Punkte aus und schau was passiert.
. Wähle dafür einen Radius von 1 Längeneinheit. Positioniere die Kreise so, dass sie jeweils den gleichen Abstand zueinander haben und sich nicht gegenseitig schneiden bzw. berühren.
3. Benutze den Befehl "Gerade" um eine senkrechte "Spiegelachse" einzuzeichnen. Positioniere die Gerade rechts oder links von den Kreisen mit etwas Abstand.
4. Spiegle alle drei Kreise mit ihren Mittelpunkten an der "Spiegelachse". Nutze dafür das Werkzeug "Spiegle an Gerade". Dafür musst du jeweils den Kreis oder Punkt auswählen und dann die Gerade anklicken.
An dieser Stelle müsste deine Konstruktion folgendermaßen aussehen:
Sechs gleich große waagrecht nebeneinander liegende Kreise werden durch eine senkrecht verlaufende Gerade in zwei "Gruppen" mit je drei Kreisen aufgeteilt.
Die Kreise symbolisieren Münzen, die Gerade eine Spiegelachse.
Die Aufgabe lautet nun: Wie musst du die Spiegelachse bewegen damit du drei / vier / fünf / sechs "Münzen" siehst ?
Die Spiegelachse (Gerade) bewegst du mit dem Werkzeug "Bewege". Achte darauf, dass du zuerst beim Bewegen der Gerade nicht die beiden Punkte auf der Geraden auswählst, sondern wirklich die Gerade selbst. Wähle im Anschluss mal einen der beiden Punkte aus und schau was passiert.
Versuche zu beschreiben, wie du die Spiegelachse bewegt hast, um drei / vier / fünf / sechs Münzen zu sehen.
Wie lange hast du in etwa für das Bearbeiten von Nummer 1 gebraucht ?
Nummer 2: Verknüpfung von zwei Achsenspiegelungen
Teil 1:
1. Lass dir in dem GeoGebra-Applet ein enges Koordinatengitter anzeigen (Einstellungsrad oben rechts --> Koordinatengitter anzeigen --> Enges Gitter).
2. Zeichne eine beliebige Gerade mithilfe des Befehls "Gerade".
3. Konstruiere mit dem Werkzeug "Senkrechte Gerade"
eine weitere Gerade, die zur ersten orthogonal liegt.
4. Erstelle ein beliebiges Dreieck mit dem Befehl "Vieleck" 
. Dieses soll die beiden Geraden nicht schneiden.
5. Spiegle das konstruierte Dreieck an der ersten Geraden. Verwende dazu wieder den Befehl "Spiegle an Gerade" und wähle beim Spiegeln direkt das gesamte Dreieck aus.
6. Spiegle dann das gespiegelte Dreieck an der zweiten Geraden.
Es sollten jetzt drei Dreiecke vorhanden sein.
Überlege dir den Zusammenhang zwischen dem ersten und dem dritten Dreieck. Was fällt dir auf ?
.
3. Konstruiere mit dem Werkzeug "Senkrechte Gerade" eine weitere Gerade, die zur ersten orthogonal liegt.
4. Erstelle ein beliebiges Dreieck mit dem Befehl "Vieleck" . Dieses soll die beiden Geraden nicht schneiden.
5. Spiegle das konstruierte Dreieck an der ersten Geraden. Verwende dazu wieder den Befehl "Spiegle an Gerade" und wähle beim Spiegeln direkt das gesamte Dreieck aus.
6. Spiegle dann das gespiegelte Dreieck an der zweiten Geraden.
Es sollten jetzt drei Dreiecke vorhanden sein.
Überlege dir den Zusammenhang zwischen dem ersten und dem dritten Dreieck. Was fällt dir auf ?Teil 2:
Die zweimalige Achsenspiegelung an zwei senkrecht zueinander liegenden Geraden kann auch durch eine Punktspiegelung am Schnittpunkt der beiden Geraden ersetzt werden.
Überprüfe diesen Sachverhalt im obigen GeoGebra-Applet, indem du nun dein ursprüngliches Dreieck am Schnittpunkt der beiden Geraden spiegelst. Markiere dafür den Schnittpunkt der beiden Geraden mithilfe des Werkzeugs "Punkt"
und verwende dann den Befehl "Spiegle an Punkt"
. Wähle dafür zuerst das Dreieck und dann den Schnittpunkt der beiden Geraden aus.
Wenn das entstehende Dreieck genau auf deiner Endfigur landet, hast du alles richtig gemacht !
und verwende dann den Befehl "Spiegle an Punkt". Wähle dafür zuerst das Dreieck und dann den Schnittpunkt der beiden Geraden aus.
Wenn das entstehende Dreieck genau auf deiner Endfigur landet, hast du alles richtig gemacht ! Wie lange hast du in etwa für das Bearbeiten von Nummer 2 (Teil 1 und 2) gebraucht ?
Bonusaufgabe:
Variiere die Lage der beiden Geraden bei Aufgabe 2, indem du die gespiegelten Dreiecke und die orthogonale Gerade entfernst, eine neue zweite Gerade einzeichnest (mit beliebigem Schnittwinkel) und erneut spiegelst.
Was passiert bei der Spiegelung, wenn die beiden Geraden sich nicht orthogonal schneiden ?
Tipp zur Bonusaufgabe:
Du kannst deine Vermutung mithilfe der Werkzeuge "Winkel mit fester Größe"
, "Gerade", "Vieleck", "Spiegle an Gerade" und "Drehe um Punkt"
überprüfen.
, "Gerade", "Vieleck", "Spiegle an Gerade" und "Drehe um Punkt" überprüfen.