Carrés de Malfatti
Sangaku : inscrire trois carrés dans un triangle donné.
Deux des sommets de chacun des carrés servent de liaison entre les trois carrés, qui se touchent ainsi par deux coins. Chaque carré a ses deux autres sommets sur deux côtés différents du triangle donné.
Méthode
Philippe Chevanne - dans le théorème de Grèbe - fait remarquer que les médianes du triangle intérieur ABC sont perpendiculaires aux côtés du triangle donné PQR.
Faire la construction d'une figure semblable en procédant à l'envers : pour construire les carrés à l'intérieur de PQR, tracer trois carrés à l'extérieur d'un triangle A’B’C’, aux côtés perpendiculaires aux côtés du triangle donné, semblable à ABC.
Construction
À partir d'un point G’ convenablement choisi, tracer trois droites perpendiculaires aux côtés de PQR.
Construire un triangle A’B’C’ tel que ces trois perpendiculaires soient les médianes du triangle A’B’C’, pour cela :
– placer un point A’, distinct de G’, sur la perpendiculaire à (QR),
– tracer le point K, symétrique de A’ par rapport à G’,
– sur les deux autres perpendiculaires, tracer le parallélogramme G’B’KC’ de diagonale [G’K].
À l'extérieur du triangle A’B’C’, construire trois carrés, puis le triangle P’Q’R’ dont les côtés contiennent les sommets externes de ces carrés.
Les droites (PP’) et (QQ’) sont concourantes en S, centre de l'homothétie qui transforme le triangle P’Q’R’ en PQR.
En déduire ABC comme image de A’B’C’ par cette homothétie et tracer les trois carrés inscrits dans PQR.
Descartes et les Mathématiques - Carrés autour d'un triangle BOA