4. Segunda parte: La madre de Irene

Autor:JM Arranz, JA Mora, M Sada y R Losada

Poco tiempo después, Irene pudo abrazar también a su madre, quien se veía obligada a viajar con cierta frecuencia a Madrid en su condición de miembro del Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Irene le relató con pelos y señales todo lo ocurrido con el asunto de la farola. Su madre no paró de alabar su ingenio, mientras reía a cada nueva peripecia que Irene, encantada del éxito de su narración, le transmitía.

Bien, Irene. ¡Tendré que ver ese programa GeoGebra! Pero lo haré mañana, ahora estoy agotada. ¡Me voy a la cama! Tú también, es tarde.

Al día siguiente, pudo observar en el ordenador las construcciones de su hija y su marido. La imagen de la farola en medio de la calzada no le sorprendió. Irene ya le había advertido del “cristo de la farola”. Mientras sonreía, algo en su intuición de investigadora acostumbrada a no conformarse con la primera impresión hizo que le dedicase más atención.

Hmm. Parece que aquí puede haber tomate –pensó. -¿Por qué el jefe había asegurado que “solo colocando la farola en determinado lugar se conseguiría iluminar completamente la isleta”?

La única explicación que encontraba es que la iluminación de la farola tuviese un alcance limitado, es decir, un radio de acción a partir del cual la iluminación no se considerase suficiente.

Suena razonable. Muchas farolas poseen reflectores en su parte superior que devuelven la luz hacia el suelo, formando un cono de mayor intensidad lumínica. Incluso en una farola “contaminante”, que desperdicia un montón de luz enviándola al cielo, parece claro que a partir de una distancia desde la base de la farola la iluminación del suelo resulta deficiente.

Decidió etiquetar los números y objetos geométricos que fueran surgiendo, para facilitar su referencia, sin saber todavía que GeoGebra ya lo hacía automáticamente.

Llamaré d a esa “distancia de alcance admitido”. Si lo que aseguraba el jefe es cierto, el lado mayor de la isleta mide exactamente 2d. Bien, de esta forma todo lo que contó Irene tiene sentido, pero...

No sabía exactamente que significaba “pero...” hasta que pudo expresarlo en palabras:

Siendo así, la solución hallada solo sirve para este tipo de isleta, muy particular. ¿Qué pasará cuando el lado mayor de la isleta triangular sea menor o mayor que 2d?

Bastó que formulase la pregunta para saber que ya sentía esa curiosidad familiar, esa inquietud mental, ese cosquilleo que le había llevado primero a doctorarse en Matemáticas y posteriormente a ocupar su puesto en una organización de alto nivel científico.

Creo que no andaba descaminada. Aquí hay tomate del bueno. Veamos, si el lado mayor de la isleta es más pequeño la solución encontrada continúa siendo válida (aunque haya más puntos válidos). Entonces la dificultad se encuentra cuando es mayor que 2d. ¡Buen problema! Tendré jugar un poco con este GeoGebra. Pero eso será mañana.

En efecto, al día siguiente... La primera iluminación

Vaya, me gusta, es una aplicación muy intuitiva. Aquí está el gráfico dinámico. He llamado R al radio de la circunferencia circunscrita, así que en esta situación el radio de alcance de la farola (d) es menor que R (d<R). ¿Dónde colocar ahora la farola? Hasta ahora, solo conozco la solución cuando d=R (que es o bien el circuncentro O o bien el punto medio del lado mayor).

Como la farola no lograría, en estas condiciones, iluminar completamente la isleta, razonó que el punto ideal sería aquél que iluminase más superficie del triángulo.

Esto parece un eclipse, cambiando sombra por luz. El círculo amarillo eclipsa al triángulo en una determinada superficie, con un área específica. El objetivo es conseguir que esa área sea máxima.

Buscó por los comandos de GeoGebra alguno que calculase el área de intersección de dos objetos geométricos, sin éxito.

Veamos, la aplicación dispone de áreas de círculos, polígonos, sectores circulares... Creo que con eso me debe llegar, si descompongo el área de intersección de forma adecuada y sumo las partes.

Pronto se dio cuenta de que esto no era difícil, pero le llevaría algún tiempo. El círculo podía eclipsar al triángulo de varias formas distintas, según cuántos lados intersecase y cuántos vértices “ocultase”.

Bien, mañana me pondré construir el cálculo de esa área. Ahora quiero explorar un poco más el problema, tal vez observe algo interesante.

Después de jugar un rato a variar los elementos dinámicos (los vértices, el punto rojo -base de la farola- y el radio de alcance), cayó en la cuenta de que el problema se encontraba también acotado inferiormente.

Vaya, si el alcance (d) es suficientemente pequeño, no hay dificultad alguna en determinar un punto que no desperdicie luz, pues es fácil situar la farola de forma que el círculo que ilumina caiga completamente dentro del triángulo.

Recordando los puntos notables del triángulo, no tuvo dificultad en encontrar el punto exacto en donde la circunferencia era tangente a los tres lados: el incentro I (punto de encuentro de las bisectrices), centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Justo. Llamando r al radio de la circunferencia inscrita, el problema también está resuelto si d<r.

En ese momento tuvo la primera idea. Si las circunferencias inscrita y circunscrita eran casos “extremos”, es decir, la posición de la farola es I cuando d=r, mientras que pasa a ser O cuando d=R, entonces aumentando de forma continua el alcance d, entre r y R, la posición de la farola seguramente viajará también de forma continua de I a O. Pero esto solo lo podía experimentar cuando pudiese calcular el área eclipsada. En los dos días siguientes dedicó algunos ratos libres a realizar ese cálculo.

4. Segunda parte: La madre de Irene

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