Dinámica de una población sola
Crecimiento geométrico o exponencial
Una célula de Saccharomyces cerevisiae acaba de caer en un barril de mosto recién extraído. Su maquinaria metabólica se pone en marcha y enseguida está dispuesta a dividirse (en realidad, a multiplicarse). En solo 1.5 horas ya tenemos dos levaduras A las 3 horas habrá 4, después 8, 16 y así, así… ¿Se puede predecir la abundancia futura?
En matemáticas, la secuencia 1,2,4,8,16,... se llama serie geométrica y por eso se dice que la población de levaduras crece geométricamente. Es muy fácil calcular el número de levaduras que habrá después de k divisiones
En función del tiempo
Para incluir el tiempo en la ecuación anterior solo hay que tener en cuenta el número de divisiones ocurridas después de horas: y entonces
En general, para cualquier tiempo de duplicación podemos escribir
Si queremos utilizar la base en vez del 2 solo hay que tener en cuenta la definición de logaritmo: y sustituir uno por otro
Tasa intrínseca de crecimiento r
Al cociente se le suele llamar tasa intrínseca de crecimiento y casi siempre se reprenta con la letra . Así queda mucho mejor la ecuación
En el ejemplo introductorio de las levaduras el valor de es . Estas unidades tan raras salen al dividir un número entre una magnitud de tiempo.
Número inicial de individuos
Si en vez de hubiera un número inicial de individuos es fácil ver que la abundancia cambiaría proporcionalmente, así tendríamos
Ecuación general del modelo exponencial
A partir de ahora, para simplificar las expresiones, siempre que aparezca la abundancia como función del tiempo escribiremos en vez de , igual que escribimos en vez de . Y llegamos a la ecuación más conocida de la dinámica de poblaciones:
¿Geométrico o exponencial?
El adjetivo geométrico se suele reservar para poblaciones cuyos individuos se reproducen simultáneamente cada cierto intervalo de tiempo [math}\Delta t[/math] y, entonces, la abundancia total aumenta de forma escalonada con la llegada de las nuevas cohortes. En este caso, solo tiene sentido evaluar la ecuación general cuando t es múltiplo de [math}\Delta t[/math].
Cuando la reproducción ocurre a lo largo de un periodo indefinido de tiempo, los nuevos individuos llegan de forma continua y la población aumenta de manera progresiva. Aquí sí se puede utilizar la ecuación para cualquier valor de y se suele hablar de crecimiento exponencial. Sigamos con el ejemplo para verlo mejor:
Sean 12 levaduras como la de antes en la misma situación. Como no son exactamente iguales, algunas se dividen un poco antes que otras, aunque el tiempo medio de división sigue siendo 1.5 horas porque los adelantos se compensan con los retrasos. ¿Cambia la ecuación anterior?
![[b]Figura 1. Crecimiento geométrico o exponencial.[/b] Cuando los individuos no se reproducen en sincronía, la abundancia aumenta de forma continua en vez de a saltos. En conjunto, siguen teniendo la misma tasa de crecimiento y la abundancia total responde a la misma ecuación. Estos datos se han generado por simulación, escogiendo [i]N[/i] cada hora, y dan un valor experimental [i]r[/i] = 0.45 h⁻¹ que equivale a un tiempo de duplicación de 1.5 horas, que concuerda con lo esperado por la ecuación general.](https://www.geogebra.org/resource/xjjs3fhn/LRYPONmQjveGYd5W/material-xjjs3fhn.png)
Explora por ti mismo
Figura 2 (interactiva). Crecimiento exponencial. Mueve los puntos azules y observa cómo cambia la función exponencial. También puedes mover el segmento rojo que representa el tiempo de duplicación poblacional para comprobar que es el mismo en cualquier momento.