7. Geradengleichungen und Punktprobe
Darstellungen von Geraden in der Vektorrechnung
Im vorangehenden Kapitel haben wir die Zwei-Punkte-Darstellung einer Geraden im dreidimensionalen Raum erarbeitet. Die Gleichung einer Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft, ist:
Manchmal sind auch nur ein Stützpunkt für die Gerade und ein Richtungsvektor bekannt. Auch damit lässt sich eine Geradengleichung in der Punkt-Richtungs-Darstellung erstellen:
Im folgenden Applet kann geübt werden, eine Geradengleichung aus zwei Punkten zu erstellen. Wenn nach dem Drücken auf dem "Prüfen"-Knopf alles grün ist, dann sind alle Werte richtig. Wenn der Stütz- oder der Richtungsvektor nicht richtig sind, dann werden Sie nach dem Knopfdruck rot.
Übung: Erstellen von Geradengleichungen durch zwei Punkte
Punktprobe
1Ist eine Geradengleichung gegeben, dann kann man mit einer Punktprobe überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt oder nicht.
Ist der Punkt gegeben, und lautet die Geradengleichung , dann liegt der Punkt genau dann auf der Geraden , wenn
in allen Koordinaten eine richtige Aussage ergibt.
Beispiele:
Gegeben ist die Geradengleichung
Außerdem sind die Punkte und gegeben.
Liegt auf der Geraden ?
Aus der -Koordinate folgt:
Aus der -Koordinate folgt: ???
Hier ist ein Widerspruch, denn das muss für alle drei Koordinaten gleich sein. Der Punkt liegt daher nicht auf der Geraden .
Liegt auf der Geraden ?
Aus der -Koordinate folgt:
Aus der -Koordinate folgt:
Aus der -Koordinate folgt:
In diesem Fall gibt es ein , für das gilt :
Daher liegt der Punkt auf der Geraden .