Parábolas con ejes ortogonales
Si los ejes de dos parábolas son perpendiculares, siempre pueden tomarse como paralelos a los ejes de coordenadas y las ecuaciones pueden escribirse como:
p: y=ax²+bx+c⇔x²+a'x+b'y+c'=0
q: x=dy²+ey+f⇔y²+d'x+e'y+f'=0
Sumándolas,
x²+y²+(a'+d')x+(b'+e')y+c'+f'=0
que es la ecuación de una circunferencia.
Recíprocamente, por los cuatro puntos en que una parábola corta a una circunferencia pasa otra parabola cuyo eje es perpendicular al de la primera.
Lógicamente, si la parábolas son tangentes en un punto y se cortan en otros dos, la circunferencia también es tangente a ellas en el mismo punto.
Pueden desplazarse los focos de las parábolas y los puntos que determinan cada directriz.