Introdução ao Vetor Gradiente

Uma função de duas variáveis pode ser plotada em um sistema de 3 coordenadas. Portanto, seu vetor gradiente contém três coordenadas, sendo mais adequado representá-lo no espaço tridimensional.

O vetor gradiente tem sempre uma dimensão a menos que a função da qual se está extraindo seu valor. Assim, não é adequado representar o vetor gradiente no mesmo sistema de coordenadas onde a função está representada.

O vetor gradiente tem o mesmo número de dimensões que a função da qual se está extraindo seu valor, e a representação do vetor gradiente vista na coluna central do Applet é uma projeção da representação que pode ser vista na coluna da direita.

Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a função está sendo representada.

Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a curva de nível da função está sendo representada.

O vetor gradiente aponta para o sentido onde a curva tem maior inclinação, ou seja, o ponto (0, 0).

O vetor gradiente tem coordenadas (0, 4), mas sua ponta está no ponto (0,6). Uma normalização do vetor poderia corrigir este problema.

O vetor poderia ser representado em qualquer lugar, e não deixaria de ser o vetor gradiente no ponto (0, 2), uma vez que para definir um vetor é necessário apenas módulo, direção e sentido.

No ponto (0, 2, 4), o tamanho do vetor gradiente é 4. Ao reduzir o valor de k de 4 para 1, o ponto em análise passa a ser (0, 1, 1). Nele, o tamanho do vetor gradiente também cai de 4 para 1.

Pode-se observar que, ao selecionar o valor 0 para k, verifica-se que o vetor gradiente tem tamanho 0, e ao selecionar o valor 4 para k verifica-se que o módulo do vetor gradiente também é 4. Portanto, o tamanho do vetor gradiente é igual ao nível k da Curva de Nível.

Para esta função, o tamanho do vetor gradiente em um ponto específico é sempre o dobro do raio do círculo que representa a curva de nível que contém aquele ponto.

Sempre que o vetor gradiente tiver tamanho zero estamos em um ponto máximo ou mínimo local.

No ponto (1, 0, 1) o vetor gradiente vale (0, 2).

O ponto (1, 1, 2) não pertence à função.

No ponto (-1, 1, 2) o vetor gradiente vale (-2, 2)

No ponto (0, -2, 4) o vetor gradiente vale (0, -4).

No ponto (0, -1, 2) o vetor gradiente vale (0, -2).