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CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel

Autor:Walter Füchte

CASSINI, square roots and inscribed angle theorem

10.11.2020 ergänzt: 16.01.2022

Diese Seite ist auch eine Ativität des GeoGebra-Books Moebiusebene

  • Wo schneiden sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter einem vorgegebenen fixen Winkel?
  • Wo berühren sich die Geraden zweier Geradenbüschel?
  • Wo schneiden sich die Geraden zweier Geradenbüschel senkrecht?
  • Wo schneiden sich die Kreise aus zwei elliptischen Kreisbüscheln unter einem vorgegebenen fixen Winkel?
  • Wo berühren sich die Kreise aus zwei elliptischen Kreisbüscheln?
  • Wo schneiden sich die Kreise aus zwei elliptischen Kreisbüscheln orthogonal?
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedenen Punkte schneiden sich unter einem vorgegebenen fixen Winkel (eigentlich modulo 180°) auf einem Kreis durch die beiden Punkte: Satz von Fass-Kreis, Peripherie-Winkel-Satz.
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedene Punkte berühren sich in , wenn sie parallel sind.
  • Zwei Geraden durch zwei verschiedene Punkte schneiden sich auf dem THALES-Kreis senkrecht.
Der Ort, auf welchem sich die Kreise aus zwei elliptischen Kreisbüscheln mit unterschiedlichen Grundpunkten unter einem vorgegebenen fixen Winkel schneiden, ist möbiusgeometrisch eine CASSINI-Kurve. Eine CASSINI-Kurve entsteht aus einem Kreis unter der komplexen Wurzel-Funktion.
Ein elliptischen Kreisbüschel besteht aus den Kreisen durch zwei verschiedene Punkte, den Grundpunkten des Büschels. 4 verschiedene Punkte in lassen sich mit einer Möbiustransformation auf Punkte , für ein abbilden. Die Grundpunkte der beiden elliptischen Kreisbüschel im Applet oben seien f11, f12 = -f11 und f21 = 1/f11, f22 = -f21. Quadriert erhält man die Punkte f112 (= f122) und f212 (= f222). In Polarkoordinaten ist f11 . Dieser Grundpunkt ist beweglich. move f11. Die Kreise über der Strecke f112_f212 sind Peripherie-Winkel-Kreise zum Winkel (modulo 180°). Der Mittelpunkt m dieser Kreise ist beweglich. Aus diesen Kreisen: werden unter der komplexen Wurzel-Funktion die CASSINI-Quartiken
  • mit und sind 2 der im Allgemeinen 4 Brennpunkte einer CASSINI-Quartik.
Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) aus den beiden elliptischen Kreisbüscheln schneiden sich in den Punkten z der CASSINI-Quartik unter konstantem Winkel . Bei geeigneter Orientierung der Winkel besteht zwischen dem Peripherie-Winkel , dem CASSINI-Schnittwinkel und dem Lage-Winkel zu f11 die Beziehung
  • modulo 180°
Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) aus den beiden elliptischen Kreisbüscheln berühren sich auf der CASSINI-Quartik, wenn der Mittelpunkt m des zugehörigen Peripherie-Winkel-Kreises auf der -Achse liegt. Die "Brenn"-Kreise (rot und blau) schneiden sich senkrecht auf der CASSINI-Quartik, wenn der Mittelpunkt m auf der -Achse liegt. Dies beantwortet die eingangs gestellten Fragen.

Anmerkungen

Sonderfälle:
  • Die Büschelpunkte liegen auf einem Kreis (hier: auf dem Einheitskreis) oder auf einer Geraden (zB. auf der -Achse).
  • Die Büschelpunkte-Paare liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, zB. auf den Winkelhalbierenden.
  • Die Büschelpunkte liegen harmonisch: zB. in den Schnittpunkten des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden.
Siehe hierzu die Aktivität CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2- Unter welchen Bedingungen zerfällt die Quartik in 2 Kreise? Antwort: Liegt keiner der oben genannten Sonderfälle vor, dann sind die Quartiken, also der Ort der Punkte, in welchem sich die Kreise der beiden elliptischen Kreisbüschel unter eine konstanten Winkel schneiden, nicht-zerlegbare CASSINI-Kurven! Liegen die Büschelpunkte auf einem Kreis, so zerfallt die Quartik nur für den Berührwinkel ; der Berührort besteht dann aus dem gemeinsamen Kreis der Büschelpunkte und einem dazu orthogonalen Kreis, der beiden hyperbolischen Kreisbüscheln gemeinsam ist. Liegen die Büschelpunkt-Paare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, so zerfällt die Quartik nur für den Winkel . Die Quartik besteht dann aus den beiden orthogonalen Kreisen. Eines der Büschel muss elliptisch, das andere hyperbolisch sein. Die Kurven, die ein hyperbolisches oder ein elliptisches Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden, sind die Loxodrome. Die blauen Loxodrome des Büschels f11, f12 zum Winkel berühren auf der CASSINI-Quartik die roten Kreise des 2.ten Büschels. Parameterdarstellung der CASSINI-Quartiken:
Parameterdarstellung der Loxodrome mit den Grundpunkten f, -f durch den Punkt p zum Winkel :
  • mit siehe unten.
Wurzeln und Quadrieren in Da hilft der Höhensatz: die Höhe im einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten 1 und beträgt . Genaueres Im geogebra-book Möbiusebene, insbesondere in den Kapiteln: Lage von 4 Punkten Kreisbüschel und lineare Vektorfelder Berührorte und Cassini-Kurven
Loxodrome zu den Kreisen des elliptischen Kreisbüschels mit den Büschelpunkten f und -f.

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