Limite e continuidade
Limite de função vetorial
Seja a função vetorial:
e seja . Suponha que está definida em um intervalo aberto contendo o ponto (exceto possivelmente no próprio ponto ). Então, temos que:
Portanto, pela expressão acima, temos que: "O limite de , quando tende a , existe e é igual a se e somente se o limite de todas as suas coordenadas , quando tende a , existem e são iguais a , respectivamente."- Abaixo, há vários exemplos de limite de função vetorial. O primeiro é o mais simples de todos, onde tudo "se comporta bem". Porém, os seguintes serão mais interessantes de se estudar. Há limite oscilante, infinito, indo para zero, entre outros.
Limite convergente
Limite convergente
Limite convergente
Limite convergente
Limite divergente
Já vimos uma condição para o limite existir (limite convergente). Agora, veremos uma para que o mesmo não exista.
não existe
Isto é, se o módulo do vetor posição tender ao infinito quando , então o limite da função vetorial quando não existirá, pois não temos como representar um "vetor com uma das coordenadas (ou várias) sendo infinito", então podemos estudar o limite do vetor posição através do limite do módulo do mesmo. Além disso, é possível que o limite não exista por ser oscilante, da mesma forma que tínhamos em Cálculo 1 quando tentávamos calcular o limite da função quando . Ao tentar calcular o limite, nos deparávamos com uma indeterminação deste, pois a função seno oscila indefinidamente tão próxima de quanto se queira. Logo, é possível obtermos algo desse tipo também aqui em funções vetoriais.Limite infinito
Limite oscilante
Continuidade de função vetorial
Seja a função vetorial e seja . Dizemos que é contínua no ponto , se:
Sendo assim, temos que: " é contínua em se e somente se todas as funções coordenadas são contínuas em ." Dizemos simplesmente que é contínua se é contínua para todo em seu domínio.- O caso no qual a função é contínua não é tão interessante de visualizar geometricamente, por se comportar da maneira que gostaríamos. Portanto, abaixo você verá um exemplo de função vetorial que é descontínua. Mais precisamente, possui uma descontinuidade de salto. Na figura, estão sinalizados os limites laterais em .