1001 Sugársorok, ciklusok
Visszatekintés
Korábban láttuk, hogy ha egy H-háromszög oldalfelező merőlegesei közül valamely kettő metsző, akkor bármely kettő metsző, és metszéspontjuk közös.
Azt is láttuk, hogy ha két egyenes ugyanarra a harmadikra merőleges, akkor erre az egyenesre az egymásra vonatkozó tükörképeik is merőlegesek.
Miután megismertük annak az eljárásnak a használatát, amely két ultrapárhuzamos egyeneshez megadja a közös normálisukat, kimondhatjuk, hogy bármely két egyenesnek - az ultrapárhuzamosaknak is - meg tudjuk szerkeszteni a tükörtengelyét. (Az aszimptotikusan párhuzamos egyenesek tükörtengelyének a megszerkesztéséhez használható a HSzögfelező() eljárás.)
Ezeknek az eszközöknek a birtokában válaszolni tudunk arra a kérdésre, hogy ha a háromszög három oldalfelező merőlegese - vagy magasságegyenese - nem metsző, akkor milyen kapcsolat van közöttük.
Fogalmazzunk általánosabban:
A hipebolikus geometriában három pontra vagy egy kör, vagy egy egyenes, vagy egy paraciklus , vagy egy hiperciklus illeszkedik.
Három pontra illeszkedő ciklus
Sugársorok és ciklusok
Ismereteink összefoglalásaként vezessünk be néhány abszolút geometriai, ill. hiperbolikus geometriai fogalmat.
Legyen S a sík egyenesei halmazának egy olyan végtelen sok egyenesből álló valódi részhalmaza, amelynek bármely két a és b eleme rendelkezik az alábbi tulajdonsággal:
- az a-nak b-re vonatkozó, és b-nek a-ra vonatkozó tükörképe is eleme az S halmaznak;
- az a és b egyenesek tükörtengelye is eleme S-nek.
- az euklideszi geometriában kétféle sugársor van: az egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza - ez a centrális sugársor - valamint az egymással párhuzamos egyenesek halmaza a párhuzamos sugársor.
- a hiperbolikus geometriában két egyenes három lehetséges kölcsönös helyzetéből adódóan a centrális sugársor az egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza, egyirányú sugársor az azonos végtelen távoli pontra illeszkedő, egymással aszimptotikusan párhuzamos (egyirányú) egyenesek halmaza, és ultrapárhuzamos sugársor az egymáshoz képest ultrapárhuzamos, de közös normálissal rendelkező egyenesek halmaza az.
- A hiperbolikus geometriában a sugársor tartóját egyértelműen meghatározza két egyenese, az euklideszi geometria párhuzamos sugársorának a tartója a sugársor elemeire merőleges bármely egyenes lehet.
- a háromszög három oldalfelező merőlegese ugyanannak a sugársornak a három eleme;
- az euklideszi geometriában ez a sugársor centrális;
- a hiperbolikus geometriában ez a sugársor lehet centrális, egyirányú, vagy ultrapárhuzamos.
- A sík egy adott P pontját tükrözzük az S sugársor minden egyenesére. Az így kapott tükörképek mértani helyét nevezzük az S sugársorhoz és a P ponthoz tartozó ciklusnak.
- egy adott sugársorhoz tartozó bármely ciklusnak a sugársor bármely elemére vonatkozó tükörképe önmaga, vagyis a sugársor elemeire vonatkozó tengelyes tükrözésre nézve invariáns.
- A sugársor minden egyenese merőleges a sugársor minden ciklusára.
- Az euklideszi geometriában a centrális sugársorhoz tartozó ciklus kör, a párhuzamos sugársorhoz tartozó ciklus egy a sugársor minden egyenesére merőleges egyenes.
- A hiperbolikus geometriában a centrális sugársorhoz tartozó ciklus kör, az egyirányú ciklushoz tartozó ciklus paraciklus, az ultrapárhuzamos sugársorhoz tartozó ciklus hiperciklus.
Sugársorok és ciklusaik halmaza.
Nyilvánvaló, hogy egy sugársornak, vagy a hozzá tartozó ciklusok halmazának nem tudjuk az összes elemét megrajzolni, ezért az alábbi appletben bevezetünk egy távolságegységet. Ahol tehetjük a sugársornak ill. ciklusok halmazának az így kapott egész számokat megjelenítő pontokra illesztett elemeit rajzoljuk meg.
A távolságegységet megjelenítő egységnyi szakaszt a P-modell alapkörén kívül helyeztük el. Így a zoomolás ( a rajzlap, így az alapkör) képernyőhöz viszonyított növelésével a távolságegység látszólag - vagyis a képernyőn - nem változik, az alapkörhöz viszonyítva természetesen egyre kisebb.
Tekintettel arra, hogy az applet elég sok (háttérben zajló) számolást igényel, és a ezeket a számításokat a rajzlap nagyítás, kicsinyítése s közben újra és újra el kell végezni, ezért az applet tartalmaz két Zoom nevű gombot, amelyek a rajzlap nagyobb léptékű nagyítását ill. kicsinyítését teszik lehetővé, mint ha ezt az egér görgőjével végeznénk. Ezzel valamelyest csökkenthető a z új rajz elkészítésének az ideje.
Reméljük, hogy azok az olvasóink, akik eddig eljutottak, nem igénylik, hogy a fenti applet működését részletezzük. Azonban felhívjuk a figyelmüket, hogy a távolságegység megadását kitettük a P- modellből. Így a zoomolás ( a rajzlap, így az alapkör) képernyőhöz viszonyított növelésével a távolságegység látszólag nem változik, az alapkörhöz viszonyítva természetesen igen.
Ahhoz, hogy elképzeljük az alapkör képernyőnkhöz viszonyított méretét, felírtuk, hogy az alapkör sugara hányszorosa a képernyőn rögzített - mondjuk 1 cm-es - szakasznak. Ezt a „fogást” a következő munkalapon is alkalmazni fogjuk.
Figyeljük meg, hogy elég nagy alapkör esetén a lerajzolt H-egyenesek (körívek) egyre kisebb része kerül a képernyőre, és ezek egyre inkább egyenes vonalnak tűnnek.
Megjegyezzük még, hogy a fenti applet - különösen zoomolás közben - sok (háttér) számolást igényel, ezért lelassulhat. Emiatt célszerű az appletet saját gépre menteni, és offline üzemmódban futtatni.