Esta actividad pertenece al libro de GeoGebraMúsica y Matemáticas.
Posteriormente, se añadió una línea base llamada pauta (¡el eje de abscisas!) sobre la que distanciar los neumas en función de su altura (¡el eje de ordenadas!). Para mayor precisión, se añadieron más líneas horizontales –más pautas–, primero hasta cuatro (tetragrama), y por fin hasta cinco (pentagrama). Si es necesario, se pueden añadir tantas líneas auxiliares como se desee.
Sistema ortogonal
La representación basada en pautas es, básicamente, bidimensional.
El eje horizontal, la pauta, no sigue exactamente la línea del tiempo, pues la duración de los sonidos (o silencios) viene dada por ciertas modificaciones en la forma de anotar la nota. Sin embargo, simplificando, si todas las notas tuvieran la misma duración el eje horizontal coincidiría con la línea del tiempo.
El eje vertical, la altura, tampoco sigue exactamente la frecuencia del sonido. Para empezar, entre una frecuencia y su doble (es decir, entre dos notas consecutivas del mismo nombre) siempre hay exactamente la misma distancia (3 ½ pautas). Así que la escala del eje vertical parece ser logarítmica (base 2). Pero la proporción (que es el equivalente a distancia en escalas logarítmicas) entre dos notas consecutivas tampoco es siempre la misma, pues, por ejemplo, del Mi al Fa hay la mitad de distancia que del Re al Mi. Tenemos que hablar, por lo tanto, de una escala pseudologarítmica.
Incluso así, tenemos dos ejes perpendiculares, con la variable vertical evolucionando sobre la horizontal.
Nicole d’Oresme
René Descartes (1596-1650) publica en 1637 su Discours de la méthode (Discurso del método). El apéndice La géométrie (La geometría) se considera la base de la Geometría Analítica y del Cálculo. Sin embargo, las ideas contenidas en este apéndice no hacen mención en absoluto de ningún sistema de referencia coordenado. Su éxito se debe a la bidireccionalidad que establece entre los métodos geométricos y algebraicos para el cálculo de soluciones.
Si no fue Descartes, ¿a quién debemos la idea de un sistema gráfico que permita cuantificar las formas variables? El sistema “cartesiano” debería llamarse, en realidad, “oresmiano”, pues, tal como señala Boyer (1968) fue Nicole d’Oresme (1323-1382), quien casi tres siglos antes que Descartes tiene la gran idea de intentar dibujar cómo varía una cierta cantidad. Para ello recurre a los términos de longitud y latitud, equivalentes a las abscisas y ordenadas actuales.
Gráficas y funciones
Dado que las pautas aparecen con Guido otros tres siglos antes, parecería que Nicole imita su notación musical. Sin embargo, existe una gran diferencia. La notación de Guido permite, ciertamente, una visión rápida de la evolución de las notas con el tiempo, pero no establece un sistema de referencia auténtico. A los cantantes no les preocupaba a qué distancia está determinada nota del origen del canto, solo a qué altura está en un instante determinado. Por lo tanto, no se establece una relación funcional entre el tiempo transcurrido y la nota a emitir. Considerar las dos variables a la vez dotó al sistema de Oresme de una verdadera notación dinámica (como muestra el siguiente applet).
Referencias:
Boyer (1968) “Historia de la Matemática”, Alianza Universidad 1986.
