Función de Lambert y ecuaciones exponenciales
La función W de Lambert "log producto" es la inversa de .
Se demuestra que esta función no puede expresarse mediante funciones elementales.
Resulta útil, por ejemplo, en la resolución de cierto tipo de ecuaciones en las que aparecen exponenciales.
En , está bien definida si (ver la representación gráfica más abajo), aunque en el intervalo es bivaluada, por lo que habrá que tener en cuenta sus dos posibles valores.
(*) Para , se demuestra que (una) solución es
Ejemplos
Funciones en GeoGebra
GeoGebra trae predefinida la función de Lambert.
Podemos utilizar el comando
- LambertW(x)
- LambertW(x, 0),
- LambertW(x, -1) (*) Cuando no exista la rama -1, el resultado es sin definir.
Representación gráfica de la función de Lambert
En esta representación gráfica, podemos ver la función , junto con su inversa, la función W de Lambert.
- Al ser inversas, son simétricas respecto la diagonal del primer y tercer cuadrantes.
- La derivada de es , que se anula en .
Como , resulta que la función
- es decreciente para x<-1, y
- creciente para x>1.
- Alcanza su mínimo en el punto .
- Como la función no es inyectiva, tenemos dos ramas para la función inversa, generadas por
- El tramo de para x<-1, donde sí es inyectiva, que se corresponde con la rama LambertW-1.
- El tramo de para x≥1, donde también es inyectiva, y se corresponde con la rama LambertW.