A tetraéder középgömbje
Itt említettük meg a tetraédernek egy olyan tulajdonságát, amelynek nincs síkbeli megfelelője:
A szabályos tetraéder középgömbje az a gömb, amely mind a hat élét érinti.
Olvasóinkra bízzuk annak a demonstrálását, hogy van olyan tetraéder, amelynek nincs középgömbje.
Most olyan tetraédereket adunk meg, majd elemezzük a tulajdonságait, amelyeknek van középgömbjük.
1. változat és megoldása
Legyen adott a keresett tetraéder egy csúcsából kiinduló három élét tartalmazó félegyenese! Meg fogjuk szerkeszteni az ezeket érintő gömböt, az adott triéder síkjainak e gömbbel alkotott síkmetszeteit, majd a tetraéder negyedik lapsíkját, amely ezeket a síkmetszetként kapott köröket érinti. Végül rávilágítunk a kapott alakzat néhány további összefüggésére.
Javasoljuk, hogy az alábbi applet szerkesztéseit a ∥◀ ,◀, ▶, ▶∥ gombokkal vezérelhető lépésekkel kövessék nyomon. Az elemzéseket a rendre megjelenő logikai kapcsolók ki-be kapcsolása segítheti.
Szerkesztés - elemzés
- A keresett tetraéder egy csúcsára illeszkedő három él félegyenesét - az általánosság elvét nem sértve - a koordinátarendszer z tengelyére illeszkedő D csúcsával, és az xy síkban fekvő origó középpontú, r=2 sugarú fix körvonalra (k0 -ra) illesztett három -mozgatható - pontjával adtuk meg. Az így kapott három félegyenes: (a, b, c) egyértelműen meghatározza a keresett konvex tetraéder éleit érintő S gömböt. (A D=(0,0,0) esetet kizártuk, mert ekkor nem jön létre konvex triéder.) Itt nyílik lehetőség arra is, hogy a dinamikus koordináták eszköztárát kihasználva úgy állítsuk be a keresett alakzatot meghatározó pontokat, hogy a keresett tetraéder szabályos legyen. Szerkesztés közben ezt a speciális beállítást a k0 kör három köríve és egy vektor segíti.
- A k0 kör Ea, Eb, Ec, pontjaira illeszkedő és az (a,b,c) triéder éleit érintő, S-re illesztett körök lesznek a tetraéder D csúcsára illeszkedő háromszögek beírt körei.
- A feladat kulcslépése a ka körre illeszkedő Fa pont előállítása, amely a keresett tetraéder BC oldalának az S-sel alkotott érintési pontja.
Megszerkesztése a kör külső pontjából húzott érintőtávolság, a ponthoz és az adott körhöz tartozó szelődarabok szorzatára vonatkozó (középiskolai) tételen, valamint a pont körre vonatkozó polárisát előállító
parancson alapszik, amely a 3D-s rajztérben is alkalmazható, ha a kör és a pont egy síkban van. Megjegyezzük, hogy külön kellett kezelnünk azt az elfajuló esetet, amelyben EaEb=EaEc . Ekkor ugyanis az Ma pont nem jön létre. (Ilyen pl. a "szabályos" eset.)
- A 3. lépésben előállított Fa pont megszerkesztésére adott eljárást alkalmaztuk még kétszer, a (CA) ill, (AB) egyenesek S-sel alkotott Fb ill, Fc érintési pontjainak az előállítására.
- A keresett tetraéder mozgatható D csúcsa és az Ea, Eb, Ec, valamint az ezekből szerkesztett Fa, Fb, Fc érintési pontok egyértelműen meghatározzák a keresett ABCD tetraédert. Csupán a szerkesztésünk helyességét ellenőriztük azzal, hogy megvizsgáltuk: az így megszerkesztett A, B, C pontok rendre illeszkednek a megadott a, b, c egyenesekre. Pl. az A∈a ? kérdésre a Távolság(A, a) ≟ 0 logikai érték adta meg a választ, mivel a GeoGebra Kapcsolat(A,a) parancsa térbeli koordinátákkal adott pontra és egyenesre nem működik.
- Az itt épp hogy érintett projektív geometria eszköztára alkalmas arra, hogy minden poliéderhez hozzárendeljünk egy másik un. duális poliédert, ahol az eredeti poliéder csúcsainak, lapjainak és éleinek rendre a kapott alakzat lapjai, csúcsai ill. élei felelnek meg. Ha egy poliédernek van középgömbje, akkor pl. két poliéder közötti duális kapcsolat lehet az is, amelyben az egymásnak megfelelő élek merőlegesen metszik egymást a középgömbre illeszkedő - közös - érintési pontokban. Eszerint, ha az eredeti alakzatnak van középgömbje, akkor az így kapott duálisának is van. Ez azt jeleni, hogy az imént kapott ABCD tetraéderrel együtt előállíthattunk egy másik EFGH tetraédert is, amelynek ugyancsak S a középgömbje.
- Az ABCD és az EFGH tetraéder csúcsaiból álló nyolc pont meghatároz egy speciális projektív kockát. Olyat, amelynek S a "kocka" lapjait érintő beírt gömbje. Lapátlói - a két tetraéder élei - merőlegesen metszik egymást. A vetítősugarak megadásával itt is meg tudjuk adni a (124,163) pont-egyenes konfigurációt. Az Ea, Eb, Ec,, D pontok mozgatásával elérhető, hogy a kapott projektív kocka konkáv, alkalmasint önátmetsző is lehet. Mindez azt mutatja, hogy a "projektív kocka" fogalma jóval általánosabb, mint ahogy azt első példánkon megismertük.
2. változat és megoldása
Az 1. appletben lényegében a keresett tetraéder három szomszédos élének az adott gömbbel alkotott érintési pontjait adtuk meg.
Most adjunk meg a keresett tetraéder két szemközti, és egy ezeket metsző éleinek az adott (itt S=Gömb((0,0,0),2) gömbbel alkotott érintési pontjait. Az előző applet jelöléseit követve ezek legyenek EA, FA és EB.
Kihasználva az előző szerkesztésben megismert összefüggéseket, először megszerkesztjük azt a projektív kockát, amelynek a lapjai az S gömböt a három adott pontban érintik, majd ennek négy-négy csúcsát kiválasztva kapjuk a keresett tetraédert és duálisát. Végül megmutatjuk, hogy a kapott két tetraéder élei -vagyis a projektív kocka lapátlói - merőlegesen metszik egymást az adott ill. megszerkesztett érintési pontokban.
A szerkesztés lépéseit és a konstrukció elemzését ugyancsak a ∥◀ ,◀, ▶, ▶∥ gombokkal és a logikai kapcsolók ki-be kapcsolásával követhetjük nyomon.
Szerkesztés - elemzés
- A három adott pont speciális (szabályos tetraédereket eredményező) beállítását itt három vektor segíti.
- Az előző appletet vizsgálva észrevehettük, hogy a kapott projektív kocka két szomszédos és az ezekkel szemközti lapok érintési pontjai egy síkra (azaz egy körvonalra) illeszkednek. Ez a sík tartalmazza a projektív kocka két iránypontját és középpontját. Így EA, FA és EB. pontok köré irt kC kör ismeretében megszerkeszthető a projektív kocka PA és PB iránypontja, ezekből az EB érintési ponttal szemközti FB érintési pont, a "kocka" M középpontja, végül az a kC köré írt négyszög, amelynek az oldalegyenesei átmennek a kapott iránypontokon.
- Kihasználva, hogy egy egyenes körkúp alapkörének bármely pontjába húzott alkotója merőleges az adott pontba húzott érintőre, az EAPB ill. az FAPB egyenest az EA ill. FA ponton és az S gömb (0,0,0) középpontján átmenő tengely körül 90°-kal elforgatva megkaphatjuk a projektív kocka harmadik, PC iránypontját. Ebből és az M középpontból az EC és FC érintési pontokat, végül kB kört, és az ehhez tartozó érintőnégyszöget.
- Miután ismerjük a projektív kocka beírt gömbjének mind a hat érintési pontját, a kA körre lényegében nincs is szükségünk ahhoz, hogy megadjuk a PA ill. PC iránypontokhoz tartozó érintőnégyszögét.
- A PA, PB és PC irányhoz tartozó érintőnégyszögek centrálisan perspektívek a a projektív kocka szemközti oldalaival, így ezek ismeretében megadhatók a "kocka" vetítőegyenesei, majd maga a projektív kocka.
- Egy projektív kocka csúcsai minden esetben meghatároznak két tetraédert, jelen esetben azonban meg kell mutatni, hogy e két tetraéder oldalai valóban merőlegesen metszik egymást az S gömbön megadott ill. megszerkesztett érintési pontokban.