QG IV - Nullstellen mit "pq-Formel" (Herleitung)
Über das Verfahren der quadratischen Ergänzung, was man schon bei der Bestimmung der Scheitelpunktform benutzt hat, lässt sich eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen (besser bekannt als "p-q-Formel") bestimmen.
Im vorliegenden Beispiel sollen die Nullstellen (also die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse) der Parabel zur Funktion bestimmt werden.
Dazu lösen wir die quadratische Gleichung .
Beispiel:
Quadratische Ergänzung:
1. Binomische Formel
7 als schreiben
3. Binomische Formel
Satz vom Nullprodukt
Verallgemeinert man dies und setzt für 6 die Variable p und für 2 die Variable q ein, so sieht man, dass in der Lösung die -3 aus und die 7 aus entsteht.
Dies führt zur Lösungsformel:
Satz:
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung lauten:
und .
Der Radikand (d.h. der Term unter der Wurzel) wird auch als Diskriminante D bezeichnet.
Man unterscheidet drei Fälle:
- D>0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen (d.h. die Parabel hat zwei Nullstellen).
- D=0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung eine Lösung, nämlich (d.h. die Parabel hat eine Nullstelle und liegt auf der x-Achse).
- D<0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung keine Lösung (aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen, die Parabel hat keine Nullstellen, schneidet also nicht die x-Achse)
Beispiel:
Im obigen Beispiel ist p=-6 bzw. p=6, es ist bzw.
Die Diskrimante für q=+8 beträgt , es gibt also zwei Nullstellen 3-1=2 und 3+1=4.
Für q=9 ist D=9-9=0, die Parabel ist um -p/2=3 auf der x-Achse verschoben.
Für q=10 ist die Diskriminante D=9-10=-1<0, die Parabel verschiebt sich nach oben, somit gibt es keine Nullstellen mehr.