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Contamos permutaciones, combinaciones y variaciones

Autor:Javier Cayetano Rodríguez

¿De cuántas formas pueden colocarse? Permutaciones con repetición

Imaginemos que estamos en una competición de atletismo, donde participan 4 alumnos del grupo A, 3 del grupo B y 5 del grupo C. Como son 12 alumnos, sabemos que pueden colocarse de 12!=12·11·12·...·3·2·1 formas, que es un número muy grande. (*) Si no estamos muy seguros de cómo funcionan los números factoriales podemos, como iniciación a las técnicas de recuento "combinatoria", visitar la actividad "Variaciones y permutaciones. El orden importa". También recomendamos visitar la actividad "Combinaciones y variaciones. ¿Importa el orden?" para estar más familiarizado con las técnicas de recuento y los razonamientos con ellas. Pero puede ocurrir que a nuestros organizadores lo que les interese no es la persona concreta sino el orden en que va saliendo gente de cada grupo. Por ejemplo: grupos A, B, B, C... Tenemos que recolocar 12 elementos, pero teniendo en cuenta que hay un grupo de 4 "iguales", otro de 3 y otro de 5. En combinatoria, las formas de recolocar elementos cuando hay repetidos, se denominan Permutaciones con repetición. En este caso, escribiríamos , indicando cuántos elementos hay en total y cuántos repetidos en cada grupo. ¿Cómo calcularlas? Podemos pensar que por cada una configuración de las 12!, hay muchas que nos van a dar igual, ya que podríamos intercambiar el orden en los que salen los 4 alumnos del grupo A, y el resultado seguiría siendo el mismo (los grupos salen en el mismo orden, aunque las personas vayan a ser diferentes).
  • Por eso, tendríamos que dividir las 12! posibilidades entre las posibles 4! recolocaciones del grupo A.
  • Pero igual ocurriría con las 3! posibles recolocaciones del grupo B.
  • E igual con las 5! del grupo C.
Como resultado, tenemos que las posibilidades son: . ¡Son muchas! Y normalmente es así, suelen ser tantas que no podríamos hacer un diagrama en árbol para representarlas todas. Más abajo, en la actividad "Contando pegatinas. Permutaciones, combinaciones y variaciones" podemos ver más ejemplos de permutaciones con repetición y cómo se calculan. Además, veremos que, curiosamente, las combinaciones y las variaciones pueden interpretarse como un caso concreto de permutaciones con repetición. Seleccionando los diferentes ejemplos, podemos ver las explicaciones detalladas.

Contando pegatinas. Permutaciones, combinaciones y variaciones

Instrucciones

  • Comenzaremos viendo varios ejemplos y cómo se hace el cálculo. Marcando la casilla "Ver solución", veremos el resultado y además, usando la casilla "Explica", veremos los razonamientos correspondientes para obtenerlo.
  • El desplegable central nos permite elegir también la interpretación de las combinaciones y las variaciones a partir de permutaciones. Una vez que entendamos buen las permutaciones con repetición, pasaremos a ver esos ejemplos y sus explicaciones.
  • Cuando lo tengamos claro intentaremos ir resolviendo nosotros diferentes ejemplos, asegurándonos de saber identificar qué elementos aparecen, si son permutaciones, combinaciones o variaciones, y qué fórmula sería la adecuada para el cálculo, junto con los símbolos utilizados para designar estos recuentos: PR, V, VR, P, C y números factoriales.
  • Por último, resolveremos los ejercicios que nos proponen al pulsar el botón "Ejercicios".
    • Podemos introducir la solución utilizando fracciones y factoriales.
    • Cada ejercicio correcto vale 1 punto, pero cada fallo también penaliza 1 punto.
    • Recuerda que debes practicar con los ejercicios una vez ya hayas aprendido las fórmulas (practicando antes con los ejemplos) y puedas hacer los cálculos usándolas, sin tener por qué recurrir a dibujar el diagrama en árbol.
    • Se conservará la información de la máxima puntuación alcanzada.
    • La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser verde.
¿Necesitamos saber cuántos hay de cada dibujo o en total?
  • A veces es difícil contar cosas que se mueven o están descolocadas.
  • Por eso, tenemos el botón "Organiza", que preparará los dibujos para que los contemos bien ¡ojalá mi habitación se ordenase así de fácil! Usar el botón no penaliza en las calificaciones.
  • También podemos parar/reactivar el movimiento, con la casilla "Movimiento".

Nuestro turno

Vamos a pensar en otras dos situaciones en que tengamos que recolocar elementos en los que algunos están repetidos. Haremos una con 3 grupos y otra con al menos 4. Es importante considerar que por ahora, el orden sí que es importante, porque estamos viendo cómo quedarían, ordenados, todos los elementos de los que hablamos. Para cada situación, haremos un análisis como los realizados anteriormente para determinar cuántas posibilidades hay. Seguramente sean muchas, así que no podremos representarlas en árbol. ---------- Por último, anotaremos en el porfolio de clase o aquí lo que hemos aprendido y si nos parecen útiles estas formas de enumerar usando combinatoria. ¿Sabías que, internamente, los ordenadores usan diagramas en árbol gigantescos y cálculos combinatorios para tomar decisiones como al jugar al ajedrez, aplicar IA, etc.? Es la forma que tienen de ir representando "qué puede ocurrir" y poder analizar qué hacer en las opciones posibles. No te olvides de escribir si esta actividad te ha resultado divertida y curiosa.

  • ¿Crees que te ha ayudado a aprender a usar las matemáticas?
  • ¿Te parece interesante la combinatoria?
  • ¿alguna vez te habías parado a pensar que el simple hecho de contar pudiese ser tan complejo que necesitase una rama específica de las matemáticas para ello?

Referencia de las imágenes

Fuentes de las imágenes (licencias CC BY SA y openclipart):

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