Bölme Bölünebilme Kurallarının İrdelenmesi
Bu yazıda; lise yıllarından itibaren bölme bölünebilme kuralları başlığı altında işlenmeye başlanan, onluk tabanda yazılan sayıların gibi sayılarla bölümünden kalanı kolay yoldan bulmayı sağlayan kuralların açıklamasını yapacağız. Yeterince pratik olmayan metotların irdelenmesini sürdürüp, mevcut kuralı daha pratik hale getirmeye çalışacağız.
Başlamadan önce tüm gösterimlerde kullanacağımız onluk tabanda yazılan bir sayının eşit olduğu kuvvet toplamını ifade edelim: için, olmak üzere;
olarak yazılır. ile bölünebilme ile başlayalım.2 İle Bölünebilme
açılımında 10'un tüm kuvvetlerinin, ikinin tam katı olmasından dolayı sayısının 2 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağındaki rakamına bakmak yeterli olacaktır. Sonuç olarak: rakamı çiftse; sayı 2 ile tam bölünür, yani kalan 0 olacaktır. rakamı tekse, sayının 2 ile bölümünden kalan 1 olacaktır. diyebiliriz. 3 İle Bölünebilmetoplamında;
olduğu için ifadede bulunan 10'un tüm kuvvetlerinin yerine, 3 ile bölümünden kalanı olan 1 sayısını yazalım:
Gerekli işlemler yapılırsa, sayısının 3 ile bölümünden kalan:ifadesine, yani sayıyı oluşturan rakamların toplamına eşit olacaktır. Burada şunu ekleyebiliriz: Sayıyı oluşturan rakamlar arasında 3'ün katı olan veya ilk bakışta toplamları 3'ün tam katı olduğu fark edilen sayılar varsa, kalanları 0 olacağı için toplamaya eklenmeden elenebilir. Örneğin; sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulmak için; 3'ün katı olan 3 ve 6 sayıları ile toplamları 3'ün katı olan, <2,7> ve <1,5> sayı çiftlerini toplamaya eklemeden eleyecek olursak sonuç 4'ün 3 ile bölümünden elde edilen kalan, yani 1 olur. 4 İle Bölünebilme toplamında için:
olduğundan dolayı, ifadeyi olan terimler için yerine kalan sayı olan 0 yazılırsa: şeklinde olur. Gerekli işlemler yapılırsa sonuç:
elde edilir. Buradan şu sonuca varıyoruz: Verilen sayısının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağını oluşturan sayının 4 e bölümünden kalana eşittir. Şimdi bulduğumuz sonucu 4'ün tam katı olan kısmı ayırarak daha da pratik bir hale getirmeye çalışalım: olarak yazabiliriz. 4'ün tam katı olduğu için kalanı 0 olacaktır. Buradan sayımızın 4 ile bölümünden kalanı: Sayının onlar basamağındaki rakamın 2 katıyla, birler basamağındaki rakamın toplamından elde edilen kalana eşit olarak buluruz. Örneğin: 6957 sayısı için, kalanına ve buradan tekrar aynı işlem uygulanırsa, kalan 1 olarak bulunacaktır. Elde ettiğimiz alternatif sonuca şu yorumları ekleyebiliriz: Onlar basamağındaki rakamın çift olması durumunda, için: kalan birler basamağındaki rakamın 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olacaktır. Örneğin Son iki basamağı 25, 45, 65, 85 şeklinde olan sayıların 4'le bölümünden kalan, birler basamağındaki 5 rakamından elde edilen kalana eşit olacağından sonuç olarak 1 e eşit olur. Birler basamağındaki rakamın 4'ün katı olması durumunda, için: kalan onlar basamağındaki rakamın iki katının, 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olacaktır. Örneğin, son iki basamağı 38 olan bir sayının 4'le bölümünden kalan, onlar basamağındaki 3 rakamının iki katı olan 6'nın 4 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olur. Sonuç 2 olarak bulunur. Onlar basamağındaki rakamın çift ve birler basamağındaki rakamın 4'ün katı olması durumunda ve için: Buradan şu sonuca varıyoruz: Onlar basamağı çift ve birler basamağı 4'ün katı olan tüm iki basamaklı sayılar, 4'ün tam katı olur. Örneğin: son iki basamağı 44,64, 28, 80 gibi olan sayıların 4 ile bölümünden elde edilen kalan 0 olur. 5 İle Bölünebilme
toplamında; 10'nun tüm pozitif kuvvetleri 5'in tam katı olduğu için, olan tüm terimler yerine 5 ile bölümünden kalan sayı olan 0 yazabiliriz. Buradan kalanı
olarak buluruz. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: sayısının, 5 ile bölümünden kalan: Birler basamağında sayısının 5 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Son basamağındaki rakam veya olan sayılar, 5 ile tam bölünür ve kalan olur. Son basamağındaki rakam veya olan sayıların 5 ile bölümünden elde edilen kalan olur. gibi örnekler verilebilir. 8 İle Bölünebilme
toplamında
10 sayısının 2'den büyük tüm doğal sayı kuvvetleri 8'in tam katı olduğu için olan tüm terimlerin yerine 8 ile bölümünden kalan sayı olan 0 yazılabilir.
Gerekli işlemler yapılırsa: elde edilir. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz: basamaklı sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kalan, bu sayının son üç basamağınsa bulunan sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olur. Elde ettiğimiz bu sonuç hem yeterince pratik olmadığı hem de basamak dörtten az olan sayılara uygulanamadığı için elde ettiğimiz son toplamda 8'in tam katı olan parçaları ayırıp sadeleştirmeyi devam ettirelim.
Şeklinde yazabiliriz. Buradan şu yorumu yapabiliriz: sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kalan yüzler basamağında rakamın 4 katı, onlar basamağındaki rakamın 2 katı ve birler basamağındaki rakamın toplamı olan ifadesinin 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olur. Örneğin 7135 sayısının 8 ile bölümünden elde edilen kalan işleminden 1 olarak bulunur. Vardığımız bu sonuca göre, bazı özel durumlarda ortaya çıkan durumlara bakalım. Yüzler basamağındaki rakamın çift olması durumunda: için,olacak, kuralımız 4 ile bölünebilme için kullandığımız metoda indirgenecektir. Yani onlar basamağındaki rakamın iki katı ile birler basamağındaki rakamın toplamının 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olacaktır. Örneğin Son üç basamağı 035, 235, 435, 635 ve 835 olan sayıların 8 ile bölümünden kalan: 2.3+5=11 den dolayı 3 olarak bulunacaktır. Onlar basamağındaki rakamın 4'ün katı olması durumunda: için, şeklinde olur. Bu durumda sayının 8 ile bölümden elde edilen kalan, yüzler basamağındaki rakamın dört katı ile birler basamağındaki rakamın toplamının, 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olacaktır. Örneğin Son üç basamağı 507, 547, 587 olan sayıların 8 ile bölümünden kalan: 4.5+7=27 den dolayı 3 olacaktır. birler basamağındaki rakamın 8'in katı olması durumunda: için,
şeklinde olur. Bu durumda sayının 8 ile bölümden elde edilen kalan, yüzler basamağındaki rakamın dört katı ile onlar basamağındaki rakamın iki katının toplamının, 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşit olacaktır. Örneğin Son üç basamağı 390 ve 398 olan sayıların 8 ile bölümünden kalan: 4.3+9=21 den dolayı 5 olacaktır. Maddelerden hareketle 4 ile bölünebilmede ulaştığımız çıkarıma benzer bir sonuca ulaşıyoruz: Yüzler basamağı çift, onlar basamağı 4'ün katı ve birler basamağı 8'in katı olan tüm üç basamaklı sayılar, 8'in tam katı olur. Örneğin Son üç basamağı 688, 208, 440, 284 olan sayıların 8 ile bölümünden elde edilen kalan 0 olur. Burada şöyle bir düşünce ortaya çıkabilir: basamaklı
Sayısının; 2 ile bölümünden elde edilen kalan: 4 ile bölümünden elde edilen kalan: 8 ile bölümünden elde edilen kalan: toplamlarından elde edilen kalana eşittir. Bu sonuçlardan hareketle devam edersek, 16 ile bölümünden elde edilen kalan: 32 ile bölümünden elde edilen kalan: olduğundan şüphelenebiliriz. Ancak bu düşüncenin yanlışlığı 1-2 örnek üzerinde düşünülerek hemen saptanabilir. :) 9 İle bölünebilme
toplamında; olduğu için ifadede bulunan 10'un tüm kuvvetlerinin yerine, 9 ile bölümünden kalanı olan 1 sayısını yazalım:Buradan gerekli işlemler yapılırsa, sayısının 9 ile bölümünden kalan:
Sayıyı oluşturan rakamların toplamının 9'a bölümünden elde kalana eşit olacaktır. Burada şunu ekleyebiliriz: Sayıyı oluşturan rakamlar arasında 9'un katı olan veya ilk bakışta toplamları 9'un tam katı olduğu fark edilen rakamlar varsa, kalanları 0 olacağı için toplamaya eklenmeden elenebilir. Örneğin: 158942 sayısının 9 ile bölümünden kalan belirlenirken; <1,8> ve <4,5> çiftleri ile 9 rakamı toplamaya eklenmeden elenebilir. Dolayısıyla elde edilen kalan 2'ye eşit olacaktır. 10 İle Bölünebilme Onluk tabanda çalıştığımız için kalanı bulmada en az zahmet çekeceğimiz sayı 10 olacaktır. toplamında, 10'nun kuvvetlerini içeren tüm terimler yerine 10 ile bölümünden kalan 0 yazabiliriz. toplamında etkisizleşen elemanların elemesini yaparsak sonuç: olacaktır. Dolayısıyla sayısının 10 ile bölümünden elde edilen kalan, birler basamağında bulunan rakamına eşit olur. Buradan, son basamağı 0 olan sayıların 10'un tam katı olduğunu söyleyebiliriz. 11 İle Bölünebilme toplamını oluşturan terimlerde bulunan 10 sayısının yerine olduğu için yazabiliriz. Bu durumda şeklinde olacaktır. Gerekli işlemler yapılırsa: ifadesi elde edilir. Buradan vardığımız sonuç: sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan; basamak açılımında derecesi çift olan rakamların toplamından, derecesi tek olan rakamların toplamının çıkarılmasıyla ortaya çıkan sayının 11 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Matematiksel olarak ifade edelim. kalanı bulmak için farkına bakmamız gerekir. Örneğin 473652 sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan: olduğundan 3'e eşit olur.
Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni