Geradenschnitt zweier Geraden im 2-dim Koordinatensystem

Der Geradenschnitt der Geraden f und g

Der Geradenschnitt ist der Schnittpunkt S(x|y) von zwei Geraden, wobei x und y die Koordinaten des Schnittpunktes S bezeichnen. In der GeoGebra-App werden die Geraden mit f und g benannt. Diese haben die Gestalt:

und

Die Parameter

und

sind die Steigungswerte der Geraden f und g. Die Steigungswerte ergeben sich aus den jeweiligen Änderung des Geradenverlaufs durch die Differenz der x und y Werte von zwei Punkten auf der Geraden

bzw. auf der Geraden

. Beispielsweise ist

, sprich: Änderung in y-Richtung (Differenz der y-Werte zweier Punkte) geteilt durch Änderung in x-Richtung (Differenz der x-Werte zweier Punkte).

lässt sich analog beschreiben. Diese Steigungen werden in der GeoGebra-App durch die Steigungsdreiecke ausgedrückt. Die y-Achsenabschnitte der beiden Geraden werden mit

und

angegeben. In einigen Schulbüchern werden diese Parameter auch mit dem Buchstaben n angegeben, was jedoch keinen Unterschied macht. Der Geradenschnitt S wird rechnerisch durch die Gleichsetzung der Geraden

und

ermittelt, da diese Beiden Geraden in ihrem Schnittpunkt die gleichen x und y Werte durchlaufen. Daraus ergibt sich ein Ansatz zur Lösung eines Gleichungssystems, indem man unterstellt, das deren Werte

sind. In der App übernimmt GeoGebra die Berechnung dessen im Hintergrund und gibt dann die Koordinaten x und y von Schnittpunkt S aus.

GeoGebra-Beispiel zum Schnittpunkt S zweier veränderlicher Geraden f und g.

Welche Aussagen treffen zu? Gib dazu die richtigen Antworten an.

Wie beinflussen die Parameter und den Verlauf einer Geraden?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Wenn einen positiven Wert hat, fällt die Gerade
B
Wenn einen negativen Wert hat, fällt die Gerade
C
Ist positiv, so durchläuft die Gerade die y-Achse im negativen y-Bereich
D
Ist so geht die Gerade durch den Koordinatenursprung
E
Ist positiv, so durchläuft die Gerade die y-Achse im positiven y-Bereich
F
Ist , so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
G
Ist , so verläuft die Gerade parallel zur y-Achse

Antwort überprüfen (3)

Experimentieren mit den Parametern m und b

Verschiebe die Parameter für f

und

bzw. für g

und

. Ziehe dazu mit der Maus die Schieberegler in der grafischen Oberfläche. Beobachte die Einflüsse auf den Schnittpunkt und gleichzeitig auf den jeweils anderen Parameter

oder

der nicht gerade verändert wird. Notiere deine Feststellung stichpunktartig!

Verschiebung eines Parameter

Welche Aussagen treffen zu? Entscheide dich aufgrund deiner Beobachtungen.

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Verändere ich den Wert der Steigung , so verändern sich die Koordinaten des Schnittpunktes und der y-Achsenabschnitt .
B
Verändere ich den Wert der Steigung , so verändern sich die Koordinaten des Schnittpunktes jedoch nicht der y-Achsenabschnitt .
C
Die Veränderung des y-Achsenabschnitts verändert die Steigung und die Koordinaten des Schnittpunktes.
D
Die Veränderung des y-Achsenabschnitts verändert nicht die Steigung , jedoch die Koordinaten des Schnittpunktes.

Antwort überprüfen (3)

Aufgabe - Selbstübungszweck zum eigenen Training für die Klassenarbeit

- Verändere die Steigungs- und y-Achsenabschnittswerte, sodass du zwei beispielhafte Geradengleichungen von f(x) und g(x) ablesen kannst. - Notiere dir diese beiden Gleichungen f(x) und g(x), sowie den Schnittpunkt S! - Löse nun das Gleichungssystem mit dem obigen Ansatz

und vergleiche die x und y-Werte mit denen des notierten Schnittpunktes. - Präsentiere dein Ergebnis mit dem Lösungsweg und nenne zwei Vorteile dieser Übungsmethode in Kombination mit der GeoGebra-App.