Curvas de nivel y vector gradiente
Las curvas de nivel de una función de dos variables, son las curvas en el plano cuya ecuación implícita es si la curva corresponde al nivel (siempre que sea un valor en el rango de , es decir, podría ocurrir que si es demasiado grande o pequeño la ecuación no tenga solución).
Las curvas de nivel se pueden visualizar geométricamente como la proyección sobre el plano de las curvas que se obtienen al intersecar la gráfica de con planos horizontales. La curva del nivel se obtiene al intersecar la gráfica de con el plano .
Las curvas de nivel nos permiten representar la función en un plano, sin recurrir a su gráfica tridimensional. Puntos en la misma curva de nivel corresponden al mismo valor de . Si los valores se eligen equidistantes (por ejemplo ) entonces la existencia de curvas de nivel muy cercanas significa que la función varía mucho en esa zona, y curvas de nivel lejanas indican poca variación de la función.
El vector gradiente de en el punto , , señala la dirección de máxima variación de desde ese punto.
Primer ejemplo de curvas de nivel y gradiente
Segundo ejemplo de curvas de nivel y gradiente
Instrucciones:
En las construcciones anteriores a la derecha se pueden ver la gráfica de una función , el plano (en azul claro) y la curva roja que es intersección de la gráfica de con el plano.
En la primera construcción, a la izquierda en color negro se pueden ver las curvas de nivel de para valores de naturales entre y . En la segunda construcción, a la izquierda se pueden ver las curvas de nivel de para valores . Estas curvas también se pueden ver en el plano de la representación tridimensional.
Al mover el deslizador en la parte superior izquierda, se mueve el plano horizontal que corta a la gráfica y también la curva de nivel roja correspondiente a cada valor de .
Al marcar la casilla "Mostrar vector gradiente en un punto" se muestra el vector gradiente en un punto dado (en color azul), al mover el punto se va moviendo el vector gradiente.
¿Puedes intuir dónde va a señalar el vector gradiente en cierto punto? ¿Qué pasa con el vector gradiente si el punto escogido es un punto donde la función tiene un máximo o un mínimo relativo?