Abstand Punkt Ebene - Hessesche Normalform
Projektion und Abstand
Abstandsbestimmungen: Der richtige Winkel
Wenn Sie den Abstand zwischen Objekten bestimmen wollen, dann muß die Verbindungslinie zwischen diesen Objekte, deren Länge dann zur Bestimmung des Abstands gemessen wird in einem bestimmten Winkel stehen. a) In welchem Winkel? b) Versuchen Sie dies allgemein zu begründen - haben Sie ein Argument warum es nur genau ein Winkel sein kann?
Erinnerung Ebenen
- Bauen Sie die Ebene mit Stütz- und Spannvektoren auf und blenden Sie die Ebene anschließend ein.
- Blenden Sie einen Punkt in der Ebene ein und verändern Sie seine Lage mit den Schiebereglern r,s
- Blenden Sie dann den Normalenvektor ein und drehen Sie die Darstellung. Machen Sie sich nochmals die Lage der Spannvektoren und des Normalenvektors bewußt.
- Blenden Sie dann den Ortsvektor von X ein, variieren Sie r und s, drehen Sie die Darstellung um sich die geometrische Lage der einzelnen Elemente nochmals klar zu machen
- Blenden Sie die Normalengleichung der Ebene ein (Sollten hier noch Unklarheiten bestehen: siehe Normalen und Koordinatengleichung
Passende Darstellungsform
Welche Darstellungsform eignet sich Ihrer Meinung nach am besten zur Berechnung von Abständen: Paramterform, Ebenengleichung oder Normalenform?
Der Weg zur Abstandsberechnung
Blenden Sie nun den Punkt S und dessen Ortsektor ein. Bewegen Sie das Applet, btrachteb Sie die Darstellung aus veschiedenen Richtungen, insbesondere mit Blickrichtung in der Ebene. Blenden Sie nun den Verbindungsvektor zwischen dem Ortsvektor des Punktes S und dem Stützvektor der Ebene ein. a) Wie kann man nun die Komponente dieses Vektors senkrecht zur Ebene herauspräparieren? b) Welche weitere Bedingung muß erfüllt sein, damit der richtige Betrag des Abstands berechnet werden kann?
Die Hessesche Normalenform
Formal kann man das als Einsetzen der Koordinaten des entfernten Punktes in die Ebenengleichung:
betrachten. An Stelle der 0 für einen Punkt in der Ebene ergibt diese Gleichung dann den Abstand d des entfernten Punktes von der Ebene. Blenden Sie nun im Applet die Projektion ein, bewegen Sie die Visualiserung und machen Sie sich die angezeigte Gleichgung nochmals als Projektionsgleichung bewußt.