I warunek wystarczający, Przykład 4.2
Przypomnijmy twierdzenie zwane I warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego:
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w otoczeniu punktu oraz
1. W Widoku CAS definiujemy funkcję . Określamy dziedzinę .
2. Obliczamy pochodną funkcji korzystając z polecenia Pochodna(...) lub f'(x).
3. Wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji , tj. te punkty należące do dziedziny funkcji, które są rozwiązaniami równania .
4. Wyznaczamy przedziały, na których ma stały znak rozwiązując nierówności i .
W punktach 3 i 4 korzystamy z polecenia Rozwiąż(...) lub Rozwiązania(...).
5. Obliczamy wartości funkcji w punktach, w których spełniony jest warunek wystarczający.
- ,
- dla i dla dla i dla ,
 | Aby za pomocą GeoGebry wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji wykorzystując I warunek wystarczający, postępujemy zgodnie z poniższą instrukcją |
Przykład.
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
dla .
Rozwiązanie:Funkcja jest różniczkowalna w i ma dwa punkty stacjonarne oraz , więc może mieć co najwyżej dwa ekstrema lokalne.
dla oraz dla , więc funkcja ma w punkcie stacjonarnym maksimum lokalne o wartości .
dla oraz dla , więc funkcja ma w punkcie stacjonarnym minimum lokalne o wartości .
Ilustracja graficzna:
Kliknij w punkt .
Ćwiczenie.
Uzasadnij, że wartość nie jest największą wartością funkcji w całej jej dziedzinie, zaś nie jest wartością najmniejszą.