Hintergrund und Grenzen
Die Unendlichkeitsbrille, das infinitesimal microscope, ist eine Idee der Nonstandard-Analysis, die Vergrößerung eines infinitesimalen Dreiecks mit einem infiniten Faktor. Zur Unendlichkeitsbrille gibt es in den Veröffentlichungen von Wunderling, Baumann & Kirski, von Kuhlemann und von Keisler entsprechende Illustrationen. Diese sind Veranschaulichungen der Vergrößerung mit einem inifiniten Vergrößerungsfaktor.
Es handelt sich um eine statische Illustration, die aus dem korrektem Kalkül folgt und jedesmal neu erstellt werden muss, sie ist kein flexibles Werkzeug in Schülerhand.
Die einzelnen Schritte der Erstellung der Illustration der Unendlichkeitsbrille lassen sich auch mit GeoGebra durchführen und dynamisieren. Das Ergebnis wird hier Infinitesimal-Lupe genannt.
Anmerkung 1:
Das graue Lupenviereck, das im linken Fenster um P herum erscheint, ist nicht infinitesimal klein (dann könnte man es so garnicht sehen). Wir sehen im linken Fenster den Graphen der Funktion f und um P ein graues Quadrat als hinterlegte Grafik konstanter Größe als Symbol, dessen Zweck es ist, das 'Schauen' auf eine infinitesimal kleine Umgebung des Punktes P visuell anzudeuten. Im rechten Fenster sehen wir dann das vergrößerte infinitesimale charakteristische Dreieck.
Anmerkung 2:
Der im rechten Fenster angezeigte Wert der Steigung ist auf 4 Stellen gerundet und damit eine rationale Näherung auf 4 Dezimalstellen. Dies ist ein Grund für die Verwendung des Zeichens ≈.
Ein zweiter Grund ist, dass ≈ in der Sprache der Nonstandard-Analysis benutzt wird, um auszudrücken, dass es hier um den reellwertigen Anteil, den Standardteil des hyperreellen Differenzialquotienten geht.
Anmerkung 3:
Die Infinitesimal-Lupe visualisiert das dynamisch, was die Unendlichkeitsbrille in der Veröffentlichung von Baumann & Kirski in einer statischen Illustration visualisiert.
Streng genommen unterscheiden sich die Graphen in den beiden Fenstern. In der infiniten Vergrößerung im rechten Fenster ist P der einzige sichtbare reellwertige Punkt, alle anderen reellwertigen Punkte des Graphen sind infinit entfernt. Man sieht hier also die Punkte des Graphen der hyperreell erweiterten Funktion.
Anmerkung 4:
Bei 'Monsterfunktionen' mit unendlich vielen Schwingungen auf kleinstem Raum kommt diese Visualisierung (wie alle gängigen Funktionenplotter) an ihre Grenzen.
Anmerkung 5:
Es wird auch der Ansatz von Leibniz & Pascal vorgestellt, das charakteristische Dreieck entlang der Normalen bis zur x-Achse zu vergrößern. Hier bekommen wir ein reellwertiges Dreieck, das die gleichen Proportionen und damit die gleichen Quotienten hat wie das infinitesimal charakteristische Dreieck bei P.
Für einen Kursgang in der Nonstandard-Analysis ist diese Datei entbehrlich. Es handelt sich lediglich um einen historischen Exkurs, der zeigt, wie vor der formellen Entwicklung der Nonstandard-Analysis vorgegangen wurde, um ein infinitesimales Dreieck zu visualisieren.