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Doppelt-berührende Kreise

Autor:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden (14. Mai 2020)

 Wie in den vorausgegangenen Applets zeigt sign = 1 die 2-teiligen, sign = -1 die 1-teiligen Quartiken und sign = 0 die Möbiusbilder von Ellipsen, bzw. Hyperbeln an. Die Kurven selber werden als Implizite Kurven berechnet und in Normalform angezeigt. Scheitelpunkte und Brennpunkte werden aus den Koeffizienten Ax und By und sign berechnet. Die doppelt-berührenden Kreise, die Berührpunkte und die Brennkreise werden mit Hilfe eines der Leitkreise konstruiert. Die Konstruktion beruht auf einer einfachen, allgemein für alle bizirkularen Quartiken zutreffenden Eigenschaft:
  • Spiegelt man einen der Brennpunkte an den Kreisen einer der Scharen doppelt-berührender Kreise, so durchlaufen die Spiegelbilder einen Kreis: den zugehörigen Leitkreis.
Der für die Kegelschnitte bekannte Zusammenhang zwischen Brennpunkt und Leitkreis, bzw. Leitgerade ist also nur ein Spezialfall. Die Leitkreise selber lassen sich aus der Kenntnis der Scheitelpunkte, der Brennpunkte und des zugehörigen Symmetriekreises konstruieren. (4) Die logische Struktur des obigen Applets ist sehr (!) komplex. Wahrscheinlich werden nicht alle Fälle richtig angezeigt! Wozu dienen die doppelt-berührenden Kreise? Walter Wunderlich (1) weist in einem schönen Artikel nach, dass sich aus 3 der Scharen doppelt-berührender Kreise einer 2-teiligen bizirkularen Quartik 8 verschiedene 6-Eck-Netze (hexagonal web of circles) aus Kreisen erzeugen lassen (1938). Dies ist ein Teil der noch ausstehenden Antwort auf die Frage von Blaschke u. Bol nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen (2). Weitere Antworten findet man bei der Beschäftigung mit Darboux Cycliden: dabei handelt es sich um die räumliche Variante der bizirkularen Quartiken. Diese besitzen folgende für Kreisfragen zentrale Eigenschaft:
  • Eine Kugel, welche eine Darboux Cyclide doppelt berührt, schneidet oder berührt die Cyclide entweder längs eines 2-fach zählenden Kreises oder in 2 Kreisen .
Auf einer Darboux Cyclide können bis zu 6 Scharen von Kreisen liegen; aus diesen Scharen kann man bis zu 8 verschiedene 6-Eck-Netze aus Kreisen erzeugen (3).
(1) Walter Wunderlich, 1938. Über ei besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 147, 385 - 399. dazu die geogebra-Aktivität Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen (Sechsecknetze) (2) Blaschke, W., Bol, G., 1938. Geometrie der Gewebe. Springer. (3) "Darboux Cyclides and Webs from Circles" von H. POTTMANN, LING SHI und M. SKOPENKOV (2012). (4) Zu den Eigenschaften der bizirkularen Quartiken siehe das Kapitel: Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken aus dem geogebra-book Moebiusebene Zu Brennpunkten, Leitkreisen und Wellen: geogebra-book Kegelschnitt-Werkzeuge Kap. Kegelschnitte und Wellen

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