M1 L II.4 3. Schritt: Tangentensteigung als Grenzwert
Analogie durch algebraische Betrachtung der Sekantensteigung
Spätestens bei der Berechnung der Sekantensteigung tritt der Differenzenquotient erneut auf:
Am Graph wurde die mittlere Änderungsrate bereits mithilfe des Steigungsdreiecks an der Sekante identifiziert:
GeoGebra-Applet Sekante-Tangente-algebraisch
Link zum GeoGebra-Applet Sekante-Tangente-algebraisch
https://www.geogebra.org/m/gemszbee
https://www.geogebra.org/m/gemszbee
Grenzwertberechnung durch Modellierung
Mit der vereinfachten Modellierung des Weg(Zeit)-Zusammenhangs beim Gepard
(s. optional: Weg(Zeit)-Funktion modellieren im Kapitel lokale Änderungsrate)
kann auch hier der Grenzwert z.B. an der Stelle algebraisch betrachtet werden:
Im letzten Schritt ist es erneut wichtig zu betonen, dass sich der nur beliebig annähert, aber der Schritt nur zulässig ist solange gilt!
Mit dieser Vereinfachung kann ganz analog zur lokalen Änderungsrate der Grenzwert berechnet werden:
Formale Definition
Damit kann eine formale Definition der Ableitung an der Stelle angegeben werden:
Wenn sich der Differenzenquotient einer Funktion an der Stelle beliebig nah an einen Wert annähert, wenn x gegen strebt (), dann heißt dieser Wert Ableitung von an der Stelle .
Man schreibt
Alternative:
Bemerkung zur formalen Definition:
Der Grenzwert muss derselbe sein, unabhängig davon, ob man sich der Stelle von links oder von rechts nähert. Nur in diesem Fall ist an der Stelle differenzierbar.
h-Methode
Zusätzlich kann hier die h-Methode eingesetzt werden, mit dem Nachteil, dass dazu der Differenzenquotient in dieser Darstellung nicht direkt an die Erarbeitung der Sekantensteigung anknüpft. Die Anbindung von h an die Sekantensteigung erfordert einen weiteren expliziten Lernschritt.
Die h-Methode bindet an die Grundvorstellungen Ableitung als lineare Approximation und Ableitung als Verstärkungsfaktor.
Quellen:
Das obige Applet wurde erstellt von Jürgen Roth.